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PLO:ZKSwap團隊解讀零知識證明PLONK電路_ARK

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最近研究了下零知識證明算法-PLONK。肚子里的墨水又增加了,借此記錄學習成果與心得體會---ZkSwap小白。

現狀

近些年,各種新的零知識證明算法層出不出,各有各的特點,各有各的優勢。借用V神系列文章里的一張圖來簡單呈現下當前的零知識證明算法現狀。

從圖中可以簡單總結出以下幾點:

理論上安全性最高的是STARKs算法,不依賴數學難題假設,具有抗量子性;Proof大小上最小的是SNARKs算法,如Groth16;PLONK算法在安全性上和Proof大小上,位于上述兩者之間;其他的這里不做過多闡述,如想了解零知識證明更多信息,可參考鏈接;對于SNARKs算法,繞不開的一個點就是中心化的TrustSetup,也稱之為CRS(theCommonReferenceString)。而無論是PGHR13,Groth16,還是GM17算法,它們的CRS都是一次性的,不可更新的。即:不同的問題將對應著不同的CRS,這在某些場景下,會變得比較麻煩。這些存在的問題,變了PLONK,SONIC這類算法的一個優勢,它們算法雖然也需要中心化的可信設置,但是它的CRS具有一定的普適性。即:只要電路的大小不超過CRS的上限閾值,一些證明問題就可以共用一個CRS,這種CRS稱之為SRS(universalStructuredReferenceString),關于SRS的定義,詳細的可參考SONIC協議里的第3小節。PLONK算法繼用了SONIC算法的SRS的思想,但是在證明的效率上,做了很大的提升。接下來,讓我們詳細的介紹下PLONK算法的具體細節,主要從下面四個小節去分享:

MKR是7月份Coindesk市場指數中漲幅最大的代幣,上漲47%:金色財經報道,MakerDAO的MKR是7月份Coindesk市場指數(CMI)指標中漲幅最大的代幣,上漲47%。Ripple Labs的原生代幣XRP緊隨其后,7月上漲了46.6%,因為美國法官裁定在交易所出售XRP代幣不構成投資合約,BTC和以太幣在7月份均下跌4%。

7月表現最差的資產包括比特幣現金(BCH),下跌20%,以及萊特幣(LTC),下跌18%。[2023/8/2 16:12:53]

電路的設計--描述PLONK算法的電路的描述思想;置換論證或者置換校驗--復制約束,證明電路中門之間的一致性;多項式承諾--高效的證明多項式等式的成立;PLONK協議--PLONK協議剖析;電路

PLONK算法電路的描述和SONIC算法一直,具體的過程可以參考李星大牛的分享,已經寫的比較詳細且易懂。在這個小篇幅里,我想主要分享下我自己的兩點想法:

分析:幣安SAFU基金中44%為BNB,BTC占比最低:金色財經報道,鏈上分析師Willy Woo發推稱,鏈上數據顯示,Binance的10億美元用戶安全資產基金(SAFU)儲備金要由BNB組成,占比達到44%,約合3.67億美元;BUSD占比為32%,約合3億美元;比特幣占比最低,為24%,約合2.7億美元。Willy Woo表示過高的BNB占比“令人擔憂”。[2022/11/25 12:33:53]

無論是什么樣的電路描述方式,電路的滿足性問題都要歸結于2點,門的約束關系和門之間的約束關系成立;在SNARKs系列的算法里,電路的描述單元都是以電路中有效的線為基本單元,具體的原理可以參考我之前分享的文章,而在PLONK,SONIC以及HALO算法里,電路的描述單元都是以門為基本單元。這兩種電路的不同描述方式帶來了一定的思考。那就是,之前在研究SNARKs算法時,我們都已經相信一個事實,“多項式等式成立,就代表著每個門的約束成立”,然后推斷,整個電路邏輯都是成立;在這個過程中,并沒有額外的去證明門之間的一致性成立;但是在PLONK算法里,除了要證明多項式等式成立外,還要額外的用置換論證的數學方法去證明門之間的約束關系,即復制約束。為何會有這樣的區別?希望有心的讀者能一起在評論區探討這個問題?我個人理解是因為電路的描述方式的不同:

80,000,000枚USDT從Tether Treasury轉移到Binance:金色財經報道,Whale Alert數據顯示,80,000,000枚USDT從Tether Treasury轉移到Binance。[2022/10/27 11:48:31]

PLONK算法里,電路描述的單元是門,它為每個門定義了自己的L,R,O,因此需要證明門之間的一致性;SNARKs算法里,電路描述的單元是線,門與門之間的值用的是同一個witness,因此不用額外證明一致性;置換論證

前面我們說過,在PLONK算法里,需要去證明門之間的約束關系成立。在做具體的原理解釋之前,我們先簡單的過一下PLONK協議的過程,如下圖所示:

可描述為:

根據電路生成三個多項式,分別代表這電路的左輸入,右輸入,輸出;利用置換校驗協議,去證明復制約束關系成立;步驟3和4,校驗門的約束關系成立。其中第1點已經在電路小節里闡述過了,接下來,將詳細的講解多項式置換校驗的原理。先從簡單的場景去講解:

風投機構Berkwood Capital完成3000萬美元募資,擬進一步投資Web3初創公司:金色財經報道,專注于Web3領域投資的風投機構Berkwood Capital宣布完成3000萬美元募資,投資方主要來自于亞洲市場,旨在推動對Web3初創公司和企業的進一步投資。

據悉,Berkwood Capital的重心將在Web3和NFT項目上,其平均投資規模預計在30萬美元至500萬美元之間。截至目前,Berkwood Capital投資的公司中約有5家位于美國和歐洲,在接下來的幾個月里將關注美國以外的市場。(King NewsWire)[2022/10/7 18:41:47]

單個多項式的置換校驗

其實就是證明對于某個多項式f,存在不同的兩個點x,y,滿足f(x)=f(y)。下面來看具體的原理:

芭蕾錢包和KOLO.Market正式確立合作伙伴關系:據官方消息,音樂NFT平臺KOLO.Market正式宣布與數字資產冷錢包制造商芭蕾錢包合作。NFT數字資產不僅在區塊鏈上免受篡改和攻擊,并在芭蕾錢包的“自我保管”下更安全易用。

KOLO.Market還將持續開發并拓展音樂NFT在元宇宙的各式應用場景,包括建立基于web3的去中心化高音質流媒體平臺、元宇宙音樂會等,從而串聯起NFT的交易平臺。用戶可將芭蕾錢包作為專屬會員卡或入場券使用。[2022/6/27 1:33:30]

上圖中加入了一個正例P,一個反例A,方便大家理解置換校驗的原理。有幾點需要解釋的是:

而經過仔細剖析Z的形式,不難發現,Z(n+1)其實就是兩個函數所有值的乘積的比值(不知是否等同于V神文章里的坐標累加器?)。理論上是等于1。因此,我們需要設計這樣的一個多項式Z,需滿足:deg(Z)<nZ(n+1)=1

乘法循環群剛好可以滿足這個條件,如果設計一個階為n的一個乘法循環群H,根據群的性質可以知道Z(g)=Z(g^(n+1))。因此,在設計Z時,會保證Z(g)=1;上圖中的自變量的取值也將從{1...n}變成{g...g^n}。所以在上圖中驗證的部分,a其實已經換成了群H里的所有元素。根據論文中的協議,多項式Z是會發給可信第三方I驗證方V會從I處獲取到多項式Z在所有a處的取值,然后依次校驗。下面具體看一下論文中的定義:

從定義中可以看出:多項式f,g在范圍內具有相同的值的集合;下面看一下論文中具體的協議部分,結合上述解釋的3點:

說明:圖4中的f,g對應圖3中的f。即f,g是同一個多項式。其實只要是相同的值的集合,也可以不用于是同一個多項式。圖3是一個特例而已。

跨多項式的校驗

其實就是證明對于某個多項式f,g,存在兩個點x,y,滿足f(x)=g(y)。與存在兩處不同:

多個多項式;不強制x,y的關系,即也可以等,也可以不等;有了(1)小節的基礎,這次我們先看一下相關的定義:

從定義可以看到,這次是兩個多項式集合見的置換校驗算法。從標注的部分可以看出:

兩個多項式集合仍然具有相同的值的結合;為了區分集合里的多項式,自變量的索引得區分開來;因此,可以想象的到,如果存在兩個多項式f,g,想要證明f(x)=g(y),那么根據以上描述可以判斷{f1,f2}={f,g}={g1,g2}。也保證了上述第1點的成立。

下面我們看一下具體的原理:

和(1)小節相比,證明方P增加了些工作量,驗證方V工作量不變。結合上述描述,也能很容易的理解其數學原理。

說明:至此,其實我們已經慢慢的接觸到PLONK算法的核心了,前面我們講到,電路的滿足性問題除了門的約束關系還有門之間的約束關系。

比如一個輸入x,它既是一個乘法門的左輸入,又是另外一個乘法門的右輸入,這就需要去證明L(m)=R(n),這就是跨多項式的置換校驗。

下面再給出論文里的協議內容:

至此,本篇文章已經描述了,在PLONK算法里,電路的設計以及復制約束的成立驗證兩大部分,接下來,將會另起一片文章,去分享門約束的成立和整個協議的具體步驟。

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