區塊鏈:密碼專欄 | 動手計算雙線性對（下）_Curve

前言

上一篇文章中，我們在"F_101"上找到了17個點滿足橢圓曲線方程，他們構成一個循環。那么在"F_101"中元素作為坐標的點中還有沒有其他的點也滿足方程呢？換句話說，上篇文章列出的17個點是不是就是滿足方程的全部的解呢？并非如此，比如可以驗證(3,38)也滿足橢圓曲線的方程，但是他不是上面17個點中的一個。另一個子群

實際上，我們甚至可以通過將(6,44)作為生成元來得到一個102個元素的循環群，這個循環群涵蓋了曲線在"F_101"上的全部點。但是，曲線在"F_101"上的循環周期為17的循環群卻只有中篇列出的一個，也就是說在"F_101"上討論的話，循環周期為17的點已經被我們全部找到了。

在中篇中，我們也提到數域的擴張會直接影響我們需要討論的點的多少，那么如果我們對"F_101"進行擴張，是否能夠得到更多的循環周期為17的點呢？METASTATE的博客中給出這樣一個例子，我們將用這個例子說明這個命題的真假。首先我們選擇滿足j^2mod17=15的j用于對"F_101"的擴張，過程就像我們上一篇文章中進行的那樣，擴張后的域記為“F_101的二次擴域”。在這個擴張下，我們可以找到另一個循環周期為17的群，下面的表格列出這個群的全部元素：

聲音 | 北京師范大學吳沈括：密碼技術是區塊鏈技術安全運行的關鍵保障:據光明網消息，日前，我國首部《密碼法》審議通過，并將于2020年1月1日起施行。北京師范大學網絡法治國際中心執行主任吳沈括表示，密碼就像網絡空間的DNA，可以實現網絡世界身份防假冒、信息防泄密、內容防篡改等安全需求。區塊鏈技術將會以多種方式對隱私保護協議進行加密，作為區塊鏈技術的核心算法，多種密碼技術為其提供身份認證、數據校驗、隱私保護以及公平激勵等功能，是區塊鏈技術安全運行的關鍵保障。[2019/11/28]

我們隨機選擇(66,0+23j)這個元素來驗證其滿足曲線方程：

左側：y^2mod101=^2mod101=23×15mod101=42

聲音 | 現代密碼學之父：不太清楚區塊鏈未來的發展:據國是直通車消息，近日，“現代密碼學之父”Whitfield Diffie接受采訪時表示，“我們是否以后回顧當前區塊鏈的發展，就像現在回顧20年以前萬維網的這種作用一樣，我不知道。決定區塊鏈未來還有一個因素，即它是會變成一個小眾人群、專業人士使用的工具，還是大眾都使用的工具，這一點我也不清楚，但這都是影響因素。”[2019/4/4]

右側：x^3+3mod101=41^3=3mod101=42

左側等于右側，驗證完畢。

在發現通過域擴張后還能找到更多的17階點后，我們不禁會想：

繼續對”F_101的二次擴域”進行擴張，能否找到更多的17階點呢？

或者是：為了找到全部的17階點，我們需要對F_101進行幾次擴張呢？

聲音 | 密碼學博士高承實：公鏈、聯盟鏈、私有鏈都還存在諸多問題:今日在一個討論沙龍上，密碼學博士高承實經過多方面對比分析提出其特有的通證概念與通證經濟模型，他認為公鏈、聯盟鏈、私有鏈都還存在諸多問題，真正的區塊鏈底層基礎設施應該可以滿足以上三者的接入。[2019/3/14]

嵌入度其實就是描述這個問題的一個概念。E是定義在F_101上的橢圓曲線，我們已經有一個包含n=17個點的子群，我們稱這個子群的嵌入度是滿足17整除q^k-1的最小的k。在這個例子中，k=2。計算嵌入度的價值在于事實證明，當對F_101進行擴張以期其上的橢圓曲線包含全部17階點時，最小的擴張次數就等于嵌入度。也就是說在”F_101的二次擴域”上，我們已經找到全部的17階元素。

Millier循環

下面給出計算雙線性映射的Millier算法，當計算e(P,Q)時，該算法根據P的坐標創建一個二元多項式，然后將P坐標的x和y分量帶入求值：

現場 | 元道：通證是凝結在密碼學基礎設施上的人類共識符號:金色財經現場報道，在中國區塊鏈行業發展論壇現場，中關村區塊鏈產業聯盟理事長、通證派創始人元道表示，行業數字化通證第一、區塊鏈第二。通證是凝結在密碼學基礎設施上的人類共識符號，全球發行，全球流通。通證應用在于：第一、協作，行業上下游的強協作激勵機制（包括負激勵）；第二、品牌，通證全球流通，便于建立全球品牌；第三、組織，新一代行業協會，社群自治組織。自金融，自帶金融的數字化變革，從自媒體到自金融。[2018/7/11]

METASTATE的博客中作者已經計算了e((1,2),(90,82u))點的結果為97+89j。我們給出另外一個計算的例子，并且稍后通過對比這兩個例子的結果說明雙線性對的一些屬性。

斯坦福大學應用密碼學租開發“防彈比特幣”技術:斯坦福大學的應用密碼學組織（ACG）提出一種名為“防彈比特幣”的技術，可以大幅降低區塊鏈數據的大小。ACG團隊稱該技術可以減小交易密碼證明區塊的大小，從原來的10kB縮小到小于1kB，目的在于增強比特幣的保密性，并提高交易速度。[2017/11/20]

其中f_17是二元的多項式，通過一個稱為Millier循環的過程我們可以生成該多項式，這個過程類似于計算指數運算時的mul-and-square操作。但是為了更直觀的展示原理，我們選擇根據上文定義直接展開計算f_17，這會增加一些計算量。

因此我們需要計算

的表達式。通過查詢上一篇文章的列表我們可以找出P，±2P，±4P，±8P,±16P的值,其中P=(12，32)=5G：

接下來我們來計算這些直線的方程：

這樣我們已經可以計算f_17的結果：

最后我們計算(81+52j)^600

完全解決curve101配對問題

實際上，我們可以計算出GT的生成元e(G1,G2)，也就是e((1,2),(36,31j))，其值為7+28j。這樣我們能夠完全掌握GT中全部的元素：

可以看到GT也是一個循環群，他其實是在“F_101的二次擴域”上滿足方程x^17=1的17個根。根據該表我們不加以計算就可以知道這個配對的任何一個計算結果，例如e((12,32),(36,31u))=e(5G1,G2),因此其值就是上表的第5個元素：93+25j。我們之所以能夠完全解決curve101的配對問題，是因為curve101的一系列參數決定其足夠簡單，而實際零知識證明算法中使用的配對就要復雜很多。例如一些標準中要求其配對曲線的嵌入度至少為12，這意味著GT的元素至少是基礎素域的12次擴張！如果其素域特征為常見的256位，那么為了表示一個GT元素就需要256*12/8=384字節的大小。對于任何一個實際使用的曲線，其計算復雜度和規模都使我們當前絕無可能計算出其映射表，這也是離散對數問題困難的所在。

通過系列文章，我們計算了一個簡單的配對曲線，加深了對雙線性映射的理解。后續，我們繼續使用這個配對曲線來講解和演示零知識證明中Groth16算法的過程和原理，敬請期待。

喬沛楊趣鏈科技基礎平臺區塊鏈底層密碼學小組

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