LION:你可能不知道隱藏在楊輝三角形中的 10 個秘密！_BILL

文章來源于遇見數學，作者遇見數學翻譯小組

翻譯:姚高華校對:李千蔚

英文:https://sourl.cn/qZZiVA

楊輝三角形，又稱帕斯卡三角形、賈憲三角形、海亞姆三角形，它的排列形如三角形。因為首現于南宋楊輝的《詳解九章算法》得名，而書中楊輝說明是引自賈憲的《釋鎖算書》，故又名賈憲三角形。古代波斯數學家歐瑪爾·海亞姆也描述過這個三角形。在歐洲，因為法國數學家布萊茲帕斯卡在1653年的《論算術三角》中首次完整論述了這個三角形，故也被稱作帕斯卡三角(Pascal'striangle)。

楊輝三角的前10行寫出來如下：

楊輝三角的構建

在最上面一行的中央寫下數字1第二行，寫下兩個1，和上一行形成三角形隨后的每一行，開頭和最后的數字都是1，其他的每個數都是它左上方和右上方的數之和，就是說除每行最左側與最右側的數字以外，每個數字等于它的左上方與右上方兩個數字之和。

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7月15日，Aave推出了GHO，這是一種去中心化、超額抵押的穩定幣，由多種數字資產支持，包括ETH和AAVE。[2023/7/18 11:00:38]

左對齊后的楊輝三角

前兩列倒沒什么特別的地方，第一列均為1，第二列則為自然數。而第三列就是三角形數(Triangularnumber)。你可以想到，三角數就是能夠組成大大小小等邊三角形的點的數目，如下圖所示。

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三角形數(圖自維基)

類似地，第四列是四面體數(Tetrahedralnumber)，也叫三角錐體數。顧名思義，它們代表由三角形構成的四面體所需要的點的數目，四面體數每層為三角形數。

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圖自維基

秘密Billions項目組3：11的冪

楊輝三角還揭示了11為底的冪的值。你要做的就是將每一行的數字擠壓到一起。前5行足夠簡單，但出現兩位數的時候該怎么辦呢？

泛非加密交易平臺Yellow Card獲得4000萬美元B輪融資:金色財經報道，泛非加密貨幣交易平臺Yellow Card Financial宣布獲得4000萬美元的B輪融資。本輪融資由Polychain Capital領投，參與方包括Valar Ventures、Third Prime Ventures、Sozo Ventures、CastleIsland Ventures、Fabric Ventures、DG Daiwa Ventures、The Raba Partnership、Jon Weiner、Alex Wilson、Pat Duffy等。

這筆資金將使公司能夠推動業務呈指數級增長，繼續在整個非洲大陸成功擴張，開發新產品創新，并在非洲推進戰略合作伙伴關系。（prnewswire）[2022/9/19 7:06:29]

事實證明，你要做的就是將十位數加到它左側數字上，比如下圖所示的是第六行中出現了上面的情況，如何進行移動以獲得11的值

數據：GameStop NFT日交易費用收入已暴跌至4000美元以下:8月22日消息，據外媒報道，GameStop NFT日交易費用收入已暴跌至4000美元以下。DappRadar數據顯示，GameStop NFT在過去24小時內產生了大約166800美元的銷售額。由于該平臺僅對NFT銷售收取2.25%的費用，這意味著該平臺在此期間僅獲得價值3753美元的費用收入。而GameStop NFT銷售額曾在7月13日達到198萬美元，交易費用達44500美元。這意味著GameStop最新的每日費用收入不足7月13日的1/10。（Cointelegraph）[2022/8/22 12:40:30]

如果出現了三位數同樣進位處理即可。

秘密Billions項目組5:斐波那契數列

為了揭示隱藏的斐波那契數列，將左對齊的楊輝三角對角線相加。比如下圖楊輝三角中發現的斐波那契數列前九個數：1，1，2，3，5，8，13，21，34…

按線條所示相加結果即為斐波那契數列(圖自維基)

秘密Billions項目組7:組合數學

或許楊輝三角中發現的最有趣的關系就是我們如何利用它找到組合數。

楊輝三角的前六行寫成組合數的表達形式

回憶一下從n個不同元素中選k個元素的組合公式。我們發現，對于楊輝三角中的每一行數字，從零開始計數，n是行數，k是在這一行中的位置。

所以，如果你想計算4選2，看第5行，第3個數，你會發現，答案是6.

秘密Billions項目組9:二項式定理

(x+y)的冪運算是很酷，但我們多久才會需要解這樣的題呢？很有可能，不太經常需要。如果我們能夠從上一個章節的結論中總結出一個更有用的形式，會不會更方便？好吧，其實這就是二項式定理：

這個公式也稱二項式公式或二項恒等式。

秘密#10:與概率之間的聯系—二項式分布

二項式分布描述了具有兩種可能結果的實驗的概率分布。事實上，楊輝三角的每一行也能揭示了這樣的清晰，以最經典就是扔一枚硬幣為例吧。

如果考慮拋3次硬幣，就會有8種可能發生的事件：

但其實可以分為4類情況：

3次反面——只有1次發生2次正面和1次反面——有3次發生2次反面和1次正面——有3次發生3次正面——只有1次發生這注意1,3,3,1正是楊輝三角的第4行。同樣如果拋5次硬幣，出現3正2反的事情會出現10次，這也是出現在了楊輝三角第6行。

如果設拋硬幣得到正面概率為p，反面概率為1–p。想知道扔到正面的可能性，我們可以使用二項式分布的概率質量函數找到概率的分布，其中n是試驗次數，k是成功次數。

二項式分布的概率質量函數

嗨，這看起很熟悉啊！這幾乎和我們前面提到的二項式定理是一樣的公式，只是沒有求和公式，同時和被和代替了。

假設成功的概率是0.5(p=0.5)，我們計算扔到正面0次、1次、2次、3次的概率。

在公式中代入n=3、k=0,1,2,3，得到下面計算結果，請注意楊輝三角里的組合數：1,3,3,1：

扔到正面0次、3次的可能性都是12.5%，而扔到正面1次、2次的可能性都是37.5%，這與上面分析結果是一致的。

這便是看似簡單的楊輝三角里的10個秘密，是不是很精彩啊！但這并非終點，它還有另外更神奇的性質隱藏其中，等待我們未來繼續探索吧。

來源：遇見數學

編輯：他和貓

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