數字貨幣:數字簽名：基于橢圓曲線的簽名方案_AMAL

在數字時代中，數字化文檔的認證性、完整性和不可否認性，是實現信息化安全的基本要求。數字簽名則是滿足上述要求的主要方式之一，亦是現代密碼學的研究內容之一。

數字簽名有哪些形式？基于密碼學的數字簽名優勢幾何？有哪些常用的數字簽名實現方案？使用過程中又潛藏何等風險？我們將先從理解概念為始，再為大家逐步深入介紹。

區塊鏈百科No.34：基于橢圓曲線簽名方案

隨著計算機信息處理能力的不斷提高，對密鑰長度的要求也越來越高，這個問題對于存儲能力受限的系統來說顯得尤為突出。

橢圓曲線密碼體制（ECC）的提出改變了這種狀況，它可以用更短的密鑰提供與其他體制相當的或者更高級的安全，并已成為迄今被實踐證明安全、有效、應用較廣的3種公鑰密碼體制之一。本文將繼續為大家介紹基于橢圓曲線的數字簽名方案。

美國共和黨人希望美聯儲給出如何證明數字美元合理性的答案:金色財經報道，眾議員Patrick McHenry聯合眾議院金融服務委員會致信要求美聯儲副主席Lael Brainard，要求解釋對中央銀行權威的看法，并就如何證明數字美元的合理性給出答案。

鮑威爾回應了共和黨立法者的主要擔憂，表示“我們不打算在沒有行政部門和國會明確支持的情況下繼續發行CBDC，最好是以特定授權的形式”。（CoinDesk）[2022/9/9 13:18:00]

橢圓曲線在代數學和幾何學上，已被廣范研究了150年之久，有堅實的理論基礎。

所謂橢圓曲線是指維爾斯特斯拉（Weierstrass）方程：

四方精創：公司在數字貨幣相關領域具有技術儲備:金色財經消息，四方精創（300468.SZ）在深交所-互動易上回答投資者提問時表示，數字貨幣所需技術包括了區塊鏈、各類加解密算法、隱私保護技術等技術，公司在這些相關領域具有技術儲備。[2020/5/20]

所確定的平面曲線，其中a、b、c、d、e屬于域F，其可以是有理數域Q、復數域C，還可以是有限域GF（p）。

橢圓曲線是其上所有點（x、y）的集合，外加一個無窮遠點O（定義橢圓曲線上一個特殊的點，記為O，它為仿射平面無窮遠的點，稱為無窮遠點。在xOy平面上，可以看做平行于y軸的所有直線的集合的一種抽象）。

密碼學中普遍采用的是有限域上的橢圓曲線，它是指橢圓曲線方程定義式中，所有的系數都是在某一有限域GF（p）中的元素。它最簡單的公式為：

夏威夷正為數字貨幣公司建立監管沙箱:金色財經報道，夏威夷政府周二公布了針對數字貨幣公司的監管沙箱。該州宣布建立“數字貨幣創新實驗室”，這一為期兩年的方案將允許數字貨幣發行商在沒有州匯款人許可的情況下在夏威夷開展業務。根據州長的聲明，其希望在兩年期間對數字貨幣及其活動有更多的了解，并著眼于制定法律。聲明稱，獲得的見解將用于指導立法和確定數字貨幣在夏威夷的未來。公司可以在2020年5月1日之前申請數字貨幣創新實驗室。根據聲明，被選定的參與者將必須展示其財務和技術專長，并擁有必要的資金。[2020/3/19]

該橢圓曲線上只有有限個離散點，設為N，則N稱為橢圓曲線的階為N。N越大，安全性越高。基于此，橢圓曲線的圖示可以表示如下：

聲音 | 于佳寧：央行設想的法定數字貨幣體系有三個核心要素:10月30日，火幣大學校長于佳寧在全球金融科技DeFi峰會演講中表示， 央行設想的法定數字貨幣體系的核心要素“基于區云計算的可信服務管理模塊”主要有三點，即“一幣、兩庫、三中心”，整體上通過法定數字貨幣私有云這一底層基礎設施來支撐法定數字貨幣的運行，具體而言：“一幣”是法定數字貨幣，“兩庫”是法定數字貨幣的發行庫、數字貨幣商業銀行庫，“三中心”指認證中心、登記中心、大數據分析中心。（幣世界）[2019/10/30]

當然，基于不同變量值，橢圓曲線還有其他的表示形式：

動態 | 深圳市委書記會見央行行長易綱 推進開展數字貨幣研究等方面先行先試:據深圳特區報消息，8月29日，深圳市委書記王偉中會見中國人民銀行行長易綱一行。雙方表示，將深入學習習近平新時代中國特色社會主義思想，認真貫徹落實《中共中央國務院關于支持深圳建設中國特色社會主義先行示范區的意見》，搶抓粵港澳大灣區建設重大機遇，在推進人民幣國際化、開展數字貨幣研究、發展綠色金融等方面先行先試，持續深化金融改革開放，實現深圳金融業高質量發展，全力推動黨中央重大決策部署落地見效。[2019/8/30]

當我們仔細觀察這些曲線時，能發現一些有趣特性：（1）對稱性，即曲線上的任何一點都可以在x軸上反射，并保持曲線不變；（2）任何非垂直直線與曲線的交點至多有三個。

我們可以把這條曲線想象成一場桌球游戲。在曲線上取任意兩點并通過它們畫一條直線，它將與曲線相交于另一個位置。在這個桌球游戲中，你在A點拿一個球，把它射向B點，當它擊中曲線時，球要么直接向上反彈(如果它在x軸以下)，要么直接向下反彈(如果它在x軸以上)到曲線的另一邊。我們可以把球看做在兩個點間移動，曲線上的任意兩點碰撞可得到一個新的點。

A·B = C

或者可以用某一個點自身不斷碰撞出新的點。

A·A = B

A·C = D

……

在這個過程中，一個初始點經由n次運算會得到最后到達的點，當你只知道這兩個點的值，要找出n是很難的。

這就像一個人在房間里隨機玩一段時間桌球游戲，對他而言，按照上面描述的規則一遍又一遍地擊球是很容易的。但如果有人走進房間，球剛好結束到達一個點，即使他知道所有的游戲規則，以及球從哪個點開始，也不能確定球到達此處所被擊中的次數。容易正向計算，難以反向計算，這也是陷門函數的基礎。

1985年，Koblitz和Miller將橢圓曲線引入密碼學，提出了基于有限域GF（p）的橢圓曲線上的點集構成群，在這個群上定義離散對數難題并構造出基于其的一類公鑰密碼體制，即基于橢圓曲線的離散密碼體制，其安全性基于橢圓曲線上離散對數問題的難解性。

我們以基于橢圓曲線的ECDSA數字簽名實現方案為例，闡述其具體的實現過程。

密鑰生成算法

假設GF（p）為有限域，E是有限域GF（p）上的橢圓曲線。選擇E上一點G∈E，G的階為滿足安全要求的素數n，即nG=O（O為無窮遠點）。

選擇一個隨機數d，d∈[1，n-1]，計算Q，使得Q=dG。那么公鑰為（n，Q），私鑰為d。

簽名算法

假設待簽名的消息為m，經過如下計算過程，簽名者對消息m的數字簽名為（r，s）。

驗證算法

簽名接收者B對消息m簽名（r，s）的驗證過程如下：

判斷r和r1的關系，如果相等，則簽名有效；否則，簽名無效。

除了上述介紹ECDSA方案之外，基于橢圓的數字簽名方案還有很多，而類似DSA的其他方案例如Schnorr、EIGamal等方案也都被移植到橢圓曲線有限群上。

從上述介紹可知，數字簽名的安全性依賴于基于橢圓曲線的有限群上的離散對數難題。

與前章所述RSA數字簽名和基于有限域離散對數的數字簽名相比，基于橢圓曲線的數字簽名方案具有如下特點：在相同的安全強度條件下，簽名長度短，密鑰存儲空間小，適用于存儲空間有限，帶寬受限、要求高速實現的場合。

此外，橢圓曲線資源豐富，同一有限域上存在著大量不同的橢圓曲線，這也為安全性增加了額外的保障。

正是由于橢圓曲線具有豐富的群結構和多選擇性，并可以在保持和RSA、EIGamal體制同樣安全性的前提下大大縮短密鑰長度，因而有著更為廣闊的應用場景。

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