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-----精選段落-----

從一到無窮大

于是，國王發現自己已債臺高筑，他要么以后不斷地還債，實現對宰相的承諾；要么干脆砍了宰相的頭。我們猜他應該是選擇了后者。

另一個以大數字為主角的故事也發生在印度，討論的是關于“世界末日”的問題。數學猜想歷史學家鮑爾

在世界的中心貝拉那斯

你可以自己動手做一個這樣的解謎玩具，用硬紙板代替金片，用長鐵釘代替印度神話中的金剛石針。要發現移動金片的總體規律并不難，你很快就可以看出，每成功轉移一個金片所需要的移動步數都是前一個的兩倍。第一個金片只需移動一下，但隨后移動的金片所需的步數呈幾何級數增長，所以到第64個金片時，總共所需要的移動步數與西薩要求的麥粒的數量一樣多。

將婆羅門之塔上的64個金片從一根針上全部轉移到另一根上面需要花費多長時間呢？假設僧侶們全年無休，夜以繼日地工作，每秒可以移動一步，而一年大約有31558000秒，因此大約需要超過5800億年的時間才能完成這項工作。

將這個純粹傳說中的宇宙周期的預言與現代科學的預測略做對比倒是挺有趣的。根據現代宇宙進化理論，恒星、太陽和行星，也包括我們的地球，都是由一些無定形的物質于大約30億年前形成的。我們也知道，給恒星，尤其是太陽提供能量的“核燃料”還能再維持100億到150億年

文字記載中所提及的最大的數字可能就是來自著名的“印刷行問題”了。假設我們制造出一臺打印機，這臺機器可以打印出一行又一行的文字，并且打印每一行時都會自動選擇一種不同的字母與印刷符號組合，該機器由很多單個的邊緣刻有字母和數字的圓盤組合在一起，圓盤之間像汽車的里程表那樣連接，這樣每當一個圓盤轉動完一周，就會帶動下一個圓盤向前轉一個符號，每轉動一下，隨著滾筒轉動帶動紙張前移，一行文字就被打印上去了。要做這樣一臺自動打印機并不難。

現在我們讓這臺機器運行，并看一看它打印出來的不計其數又各不相同的字符行，其中大部分都沒有什么意義，它們看起來是這樣的：

“aaaaaaaaaaa...”

或者是：

“boobooboobooboo...”

又或者是：

“zawkporpkossscilm...”

但是既然這臺機器打印出了所有的字母與符號組合，所以在這堆毫無意義的垃圾中我們會發現一些有意義的句子，當然其中有很多都是胡言亂語。

例如：

“horsehassixlegsand...”

或者是：

“Ilikeapplescookedinterpentin...”

但是仔細找找，其中一定也包括了莎士比亞所寫的每一行文字，甚至包括那些被他扔進廢紙簍里的草稿紙上的句子。

事實上，這臺打印機可以打印出人類自學會書寫以來所寫出的所有語句：每一行散文，每一句詩，報紙上的每一篇社論和每一則廣告，每一篇冗長的科學論文，每一封情書，每一份給送奶工的留言……

不僅如此，這臺機器還能打印出未來將要被印出的文字。我們在那張滾筒下的紙上可以找到30世紀的詩歌、未來的科學發現、將會在第500屆美國國會上發表的演講，以及2344年星際交通意外的統計數量。還會有一篇又一篇尚未被創作出來的短篇故事和長篇小說。如果出版商們的地下室里有這樣一臺機器，他們要做的只是從垃圾堆中挑選出好的片段加以編輯就好了—反正他們現在差不多也在做這樣的事情！

為什么不能這么做呢？

讓我們統計一下要將所有的字母與印刷符號的組合全部寫下來需要多少行。

英語中有26個字母、10個數字和14個常用符號，一共50個符號。讓我們假設這臺機器上有65個輪盤，與每一行平均有65個位置一一對應。一行中的第一個字符可能是以上50個字符中的任意一個，也就是有50種可能性，每一種可能性中跟著的第二個字符也可能是以上50個字符中的任意一個，這又是50種可能性，到此，總共有50×50=2500種可能性。而對于這前兩個字符的每一種可能性，第三個字符也仍有50種可能性，以此類推。所有可能的組合的行數可以用以下算式表達：

50乘上65次

50×50×50×…×50

或者是：

50

也等于：10

為了更直觀感受一下這個數字的浩大，我們可以假設宇宙中的每一個原子都是一臺打印機，這樣我們就有3×10

看來，要從這些自動打印出的材料中選出點什么確實要花相當長一段時間了。

2．如何計算無窮數

在上一部分我們討論了數字，其中很多是相當大的數字。如西薩所要求的麥粒的數目，這些數字巨人雖然都大得不可思議，但它們都是有限度的，只要時間充分，我們就可以將其精確地記錄到最后一位小數。

但是有一些數字是無窮大的，比無論我們花費多長時間所寫下來的數字都大。“所有數字的數量”顯然是無窮的，“一條線上幾何點的數量”也是無窮的，除了它們都是無窮的，還有別的方法可以描述這些數字嗎？例如，可以比較兩個無窮數哪一個更大嗎？

“所有數字的數量更大還是一條線上點的數量更大？”這樣的問話有意義嗎？這些乍一看很有趣的問題是由著名數學家格奧爾格·康托爾

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要討論無窮數的大小，我們首先要面臨一個問題，即對我們所說出的或寫下的兩個數進行比較，某種程度上類似于霍屯督人查看寶箱，想要知道自己擁有多少玻璃珠或銅幣。但是，你應該還記得，霍屯督人最多只能數到3。那么既然他不會數到更多，他應該放棄比較玻璃珠的數量和銅幣數量嗎？當然不是，如果他足夠機智，他完全可以將珠子與銅幣一個一個地比較后得出答案。他將一個珠子與一枚硬幣放在一起，第二個珠子與第二枚硬幣放在一起，以此類推，如果最后珠子用完了而硬幣還有剩余，那么他就可知自己擁有的銅幣的數量多于玻璃珠；反之，則他擁有的玻璃珠數量更多；如果兩者同時用完，那么他所擁有的兩種東西數量就一樣多。

康托爾提出來的比較兩個無窮數的大小的方法與此一模一樣：如果我們將兩個無窮數所代表的對象集合進行配對，這樣一個無限集合中的每一個對象都與另一個無限集合中的一個對象配成一對，到最后兩個集合中都沒有多余的對象，那么代表這兩個集合的無窮數就是相等的。但是，如果其中一個集合有剩余，那么我們就可以說代表這個集合的無窮數比代表另一個集合的無窮數更大，或者說更強。

這明顯是最合理的，也是唯一實際可行的用來比較無窮數量的辦法，但是當我們真正運用這個方法時，可能會產生意想不到的結果。以所有的奇數和所有的偶數兩個無窮數列為例，你肯定會直覺地認為奇數的數量和偶數的數量是一樣的，運用上述的方法也是完全合理的，因為它們直接可以建立一一對應的關系：

在這個表上，每一個奇數都有一個偶數與之對應，反之亦然。因此，奇數的數量與偶數的數量是相等的，看起來相當簡單！

但是，且等一下，所有數字，包括奇數和偶數的數量和僅僅所有偶數的數量相比，你認為哪一個更大呢？你當然會認為所有數字的數量更大，因為它不僅僅包含了所有偶數的數量，還包含了所有奇數的數量。但這只是你個人的判斷，為了得到確切的答案，你必須用上述方法將兩個無窮數進行比較。而如果你用了該法則，你會驚訝地發現你的判斷是錯誤的。實際上，所有的數字與所有的偶數也可以建立一一對應的關系，正如下表所示：

根據我們的無窮數比較法則，我們必須承認所有偶數的數量與所有數字的數量是相等的。當然，這聽起來有些荒謬，因為偶數只是所有數字的一部分，但是，別忘了我們這里所處理的是無窮數，所以必須對遇到的不同的特性有所準備。

實際上，在無窮數的世界里，“部分可能等于整體”！關于著名的德國數學家大衛·希爾伯特

“讓我們想象有一家旅舍，里面房間數是有限的，并假設所有房間都已客滿。這時來了一個新客人想要訂一間房，‘很抱歉，’老板會說，‘但是已經客滿了。’現在讓我們想象一個有無數房間的旅舍，并且所有的房間也已客滿，而這時也來了一個新客人想要訂一間房。

“‘當然可以！’老板喊道，然后他將占據了1號房間的人移到2號房間，將2號房間的人移到3號房間，將3號房間的人移到4號房間，以此類推。然后，經過這一番轉移，1號房間空了出來，新房客就住到了里面。

“讓我們想象一個有無數房間的旅舍，所有房間已客滿。這時來了無限數目的新客人想訂房。

“‘好的，先生們，’老板說，‘少安毋躁。’

“他將1號房間的客人移到2號房間，將2號房間的客人移到4號房間，將3號房間的客人移到6號房間，如此等等。

“現在所有編號為奇數的房間都空了出來，可以輕松地將無限多的新客人安置其中。”

因為當時正處于戰爭時期，即使在華盛頓，希爾伯特所描述的狀況也很難被人理解，但是這個例子生動形象地描述出無窮數的特性與我們平時算術中所遇到的狀況截然不同。

按照康托爾比較兩個無窮數的法則，我們現在可以證實，所有的如

“好吧，這些都很有意思，”你可能會說，“但是這是不是意味著所有的無窮數都是相等的呢？如果是的話，它們之間還有什么好比較的呢？”

不，并不是這樣的。我們可以輕松找出一個比所有的整數的數量和所有的分數的數量都大的無窮數。

實際上，如果我們將本章前面所提到的一條線上所有點的數量問題與所有整數的數量進行對比并加以研究，我們會發現這兩個無窮數是不相等的，一條線上點的數量要多于所有整數的數量或分數的數量。為了證實這一結論，讓我們試著將一條長度為1英寸的線段上的所有的點與整數序列建立一一對應關系，每一個點都可以用它到線段的一個端點之間的距離來表示，而這個距離可以被寫成無窮小數的形式，例如，0.7350624780056…或者是0.38250375632…

你一定還記得算術課上學的所有的普通分數都可以轉換成一個無限循環小數，如

假設有人聲稱他已經建立好這樣的關系，如下表所示：

N

10.38602563078…

20.57350762050…

30.99356753207…

40.25763200456…

50.00005320562…

60.99035638567…

70.55522730567…

80.05277365642…

·…………………………

·…………………………

·…………………………

當然，要將所有的整數和所有的小數挨個寫下來是不可能的，所以能做出上述聲明意味著作者要遵循某種規律來構建上述表格，并且這個規律必須保證所有的小數早晚都會出現在這張表格上。

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但是，我們總是可以寫出一個不在上述表格中的無窮小數，所以可以輕而易舉地證明任何一個這樣的聲明都是站不住腳的。那么要怎么寫呢？噢，很簡單！只要在第一個小數位寫上與表中1號小數的第一位數不同的數，第二小數位上寫上與2號小數的第二位數字不同的數，并以此類推。你寫下來的數字可能是這樣的：

并且無論你怎么找，這個數字都不在上面的表格里。如果表的作者告訴你，你寫的這個數字在他的表格中位列137號，你可以立刻回答：“不是的，你表格中的137號小數的第一百三十七位數與我的小數的第一百三十七位數不一樣。”

因此，線段上的點與所有的整數之間是無法建立一一對應關系的，這也表明“代表一條線上所有的點的無窮數要大于，或者說強于代表所有整數或分數數量的無窮數”。

一直以來，我們討論的都是長度為1英寸的線段上的點數，但是，根據我們的“無窮數算術”法則，我們很容易證明任何長度的線都是一樣的。事實上，“無論一條線長1英寸、1英尺還是1英里，上面的點的數量都是一樣的”。圖1可以證明這一點，圖中將兩條不同長度的線段AB和AC上的點的數量進行比較。為了建立兩條線之間的一一對應關系，我們過AB上的每一個點作BC的平行線，將平行線與AB和AC的交點進行兩兩配對，例如，點D和D′，點E和E′，點F和F′，等等。AB上的每一個點，在AC上都有一個與之對應的點，反之亦然。這樣根據我們的法則，代表這兩條線段上的點的無窮數是相等的。

通過對無窮數的分析，還可以得到一個更難以置信的結論：“一個平面上所有的點的數量與一條線上所有的點的數量是相等的。”為了證明這個結論，讓我們來看一下一條長度為1英寸的線段AB上的點和邊長為1英寸的正方形CDEF上的點。

假設用一個數字，如0.75120386…來表示線段AB上某個點的位置，我們可以將這個小數上的奇分位和偶分位上的數字分別選出來組成兩個新的小數，得到了0.7108…和0.5236…。

在正方形CDEF中測量出這兩個數字所代表的水平距離和垂直距離，從而得到一個點，我們稱之為原來線段上的點的“對偶點”；反過來，我們取正方形內一點，假設其以0.4835…和0.9907…表示，如果我們將這兩個數字合并，就可以得到該點在線段上相應的“對偶點”0.49893057…。

顯然，兩組點在這一過程中建立了一一對應的關系。線段上的每一個點都在平面上有一個對應點，平面上的每一個點也都在線段上有一個對應點，一個多余的點也沒有。根據康托爾準則，代表一個平面上所有點數的無窮數與代表一條線上所有點數的無窮數是相等的。

用類似的方法就不難證明代表一個立方體里所有點的數量的無窮數與代表一個平面或一條線段上的所有點的數量的無窮數也是相等的。要做到這一點，我們只需要將最開始的小數分成三個部分

雖然幾何點的數量比所有整數或分數的數量大，但它還不是數學家們所了解的最大數字。事實上，人們已經發現，所有的曲線的樣式總數比所有幾何點的數量還要多，因此被描述為第三級無窮序列。

作為“無窮數算術”的創造者，康托爾認為可以希伯來字母來表示無窮數，右下角的數字則用來表示這個無窮數的等級。這樣，所有的數就排列為：

1，2，3，4，5，…，

而且我們就可以像說“世界上有七大洲”或“一副撲克牌有54張”一樣來陳述“一條線上有

總結一下我們關于無窮數的討論，我們指出只需幾個等級就可以容納我們所能想到的所有無窮數。我們認為代表所有整數和分數的數量，

似乎這三個無窮數已足以數完所有我們能想到的數，這正好與我們的老朋友—有很多數要數卻只能數到3的霍屯督人的情況完全相反。

(1)以目前最大的望遠鏡所能達到的范圍來計算。

(2)譯者注：Archimedes，古希臘哲學家、數學家、物理學家。

(3)譯者注：Syracuse，西西里島上的一座城市，阿基米德的出生地。

(4)譯者注：AristarchusofSamos，古希臘第一個著名天文學家，最早提出日心說的人。

(5)Stadia：希臘長度單位，1希臘里相當于606英尺6英寸，即188米。

(6)

或者簡單地記為10

(7)這位聰明的宰相所要求的麥粒的數量可以用以下式子表達：

1+2+2

在算術中，一個數列中的每一項都等于前一項乘上一個常數，那這就是一個等比數列。在等比數列中，所有項之和可以用該常數的項數次冪減去第一項然后除以上述常數與1的差，在本例中可以這樣表示：

直接寫出來就是18446744073709551615。

(8)譯者注：WalterWilliamRouseBall，通常被稱作W．W．R．Ball，英國數學家。

(9)引自：鮑爾《數學游戲與欣賞》。

(10)譯者注：Benares，印度北部城市，著名的印度教圣地。

(11)如果我們只有7個圓盤，則需要的步數是：

1+21+22+23+…，或者2

如果你非常迅速且無誤地移動圓盤，大概需要一個小時才能完成這項任務。如果有64個圓盤，那么需要移動的總步數就是：

2

這正好是西薩所要求的麥粒的數目。

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(12)見本書第十一章“初創之日”。

(13)譯者注：GeorgCantor,1845—1918，德國數學家，主要貢獻是集合論和超窮數理論。

(14)譯者注：DavidHilbert,1862—1943，德國著名數學家，被稱為“數學界的無冕之王”。

(15)選自R.柯朗從未發表過甚至從未見諸文字但是廣泛流傳的《希爾伯特故事全集》。

(16)我們假設線段長度為1，所以這里所有分數都應小于1。

(17)比如從

0.735106822548312…

我們可以得到：

0.71853…

0.30241…

0.56282…

第二章自然數和人工數

1．最純粹的數學

數學通常被人們，尤其是數學家們，看作是科學中的女王，而作為女王，她自然要盡量避免屈就于其他學科。舉例來說，希爾伯特在參加一次“純數學與應用數學聯合大會”時，受邀發表一次公開演講，以打破這兩派數學家之間的敵對狀態，他是這樣說的：

“經常有人說純數學和應用數學是彼此相對的。這句話不對，純數學和應用數學并不是互相對立的，這兩者之前沒有互相對立過，以后也不會互相對立，這是因為純數學和應用數學之間沒有任何共同點，根本沒有可比性。”

雖然數學家們希望保持數學的純粹性，對其他學科敬謝不敏，但是其他學科，尤其是物理學卻頗為青睞數學，竭力與其建立“友好關系”。事實上，現在純數學的每一個分支幾乎都被用來解釋物理宇宙中的這個或那個特性。其中包括抽象群理論、非交換代數、非歐幾何這種一直被認為是絕對純粹，不會有任何實用性的科目。

然而，迄今為止，數學中還有一大體系除了可以訓練思維外沒有任何實際應用，簡直可以被光榮地授予“純粹皇冠”了。這就是所謂的“數論”，數學中最古老的分支之一，也是純數學思維最錯綜復雜的產物之一。

不可思議的是，作為數學中最純粹的一部分，數論從某個方面來說卻可以被稱為一門經驗科學甚至是一門實驗科學。事實上，數論中的大部分定理都是人們在處理不同的數字問題時構思出來的，正如物理學中的定律是人們處理與實物相關的問題得到的成果。而且也像物理學一樣，數論中的一些定理已經“從數學的角度”得到了證實，還有一些卻仍停留在純經驗階段，挑戰著最優秀的數學家的大腦。

以質數問題為例，所謂質數，就是不能用兩個或兩個以上比其更小的數字的乘積來表達的數字。像1，2，3，5，7等這樣的數就是質數，而12就不是質數，因為12可以被寫成2×2×3。

質數的數量是無限的，還是存在一個最大質數，所有比之大的數都可以用我們已知的幾個質數的乘積來表示？這個問題是歐幾里得

為了驗證這個問題，我們假設所有已知質數的數量是有限的，并用字母N來表示已知的最大質數，現在讓我們計算所有已知質數的乘積并加1，用以下算式表示：

(1×2×3×5×7×11×13×…×N)+1

這個數當然比我們所提出的最大質數N要大得多，但是，這個數顯然不可能被我們已知的任何質數整除，因為從它的結構來看，用其他任何質數來除這個數都會留下余數1。

因此，這個數字要么本身就是個質數，要么就必須能被比N還大的質數整除，但這兩種情況都與我們最開始的假設“N為已知的最大質數”相矛盾。

這種檢驗方法叫作歸謬法，也叫反證法，是數學家們最喜歡用的方法之一。

既然我們已經知道質數的數目是無窮的，我們就要自問，是否有什么簡便方法能把所有的質數一個不落地挨個寫下來呢？古希臘哲學家兼數學家埃拉托斯特尼

但是，如果能提煉出一個只能演算出質數的公式，并且能快速且自動地演算出所有的質數，那就更加簡便了。然而經過了多少世紀的努力，人們還是沒有得到一個這樣的公式。1640年，著名的法國數學家費馬

在他的公式

用這個公式，我們發現：

以上每一個數都是質數。但是自費馬的結論公布了一個世紀以后，德國數學家歐拉

還有一個可以推算出很多質數的公式也值得一提：n

其中，n也是指1，2，3等這樣的數。人們已經證實，當n在取1到40之間的數時，以上公式的結果都是質數，然而不幸的是，當n取41時，這個公式就失效了：

事實上，(41)

還有一個失敗的公式是：

n

當n取79及以下數值時得到的都是質數，但n取80時就無效了。

因此，找到一個能只推算出質數的通用公式的問題仍然是一個未解之謎。

數論中還有一個有趣的理論至今既沒有被證實也沒有被推翻，這就是哥德巴赫1742年提出的“哥德巴赫猜想”，其聲稱：“任何一個偶數都可以表示成兩個質數之和。”以一些簡單的數字為例，你不難發現這句話是對的，如12=7+5，24=17+7，32=29+3。雖然數學家們在這個問題上做了大量工作，但還是沒能給出一個決定性的證據證明這一陳述是絕對無誤的，也沒能找出一個反例證明其是錯的。就在1931年，蘇聯數學家施尼勒爾曼

好吧，看來想要導出一個能自動計算出所有的以及任意大的質數的公式，我們還任重而道遠，更何況我們還不能保證這樣的公式一定存在呢。

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我們可以問一個稍微簡單點的問題—關于在給定的數值區間內質數所占的比例的問題。隨著數字變大，這個比例是否會一直保持不變呢？如果變的話，是會增大還是減小呢？我們可以通過統計在不同區間內的質數的個數，從經驗主義的角度試著來解決這個問題。我們發現，取值在100以內有26個質數、1000以內有168個質數、1000000以內有78498個質數、1000000000以內有50847478個質數，用這些質數的數量除以與其對應的數值區間里整數的數量，我們得到以下表格：

首先，從這個表中可以看出，隨著數值區間變大，質數所占的比例減少了，但并不存在一個質數的終止點。

數學上有沒有一種簡單的方法來描述這一隨著數值增大而減小的比例呢？不僅有，而且質數平均分布的規律是整個數學領域最了不起的發現之一。簡單來說，就是“從1到任何大于1的數字n之間質數所占的比例約等于n的自然對數”

上表中第四列就是n的自然對數。如果你將其與第三列的數值對比一下，就會發現這兩列的值很接近，并且n越大，就越接近。

正如數論中的很多其他理論一樣，上述質數理論最開始是從經驗主義的角度提出的，在其后很長一段時間里都無法用嚴格的數學方法加以證實。直到19世紀末，法國數學家阿達馬

既然討論到整數，就不得不提一提著名的“費馬大定理”，這可以作為討論與質數特性無關的問題的一個例子。這個問題的根源要追溯到古埃及，當時所有優秀的木匠都知道，一個邊長之比為3:4:5的三角形一定有一個直角。他們就用這樣的三角形，現在被稱為埃及三角形，作為自己的角尺。

3世紀時，丟番圖

1621年，費馬在巴黎買了一本丟番圖的著作《算術》的新法語譯本，書中就討論了畢達哥拉斯三角形。他閱讀時在旁邊做了一處簡短的筆記，其大意是，雖然等式x

“我已經找到了一個絕妙的證明方法，”費馬寫道，“但是這里太窄了，寫不下。”

費馬逝世后，人們在他的資料室里發現了這本丟番圖的著作，留白處的筆記內容才得以問世。那是三個世紀以前的事了，自那時開始，全世界最卓越的數學家們都曾試著重現費馬在筆記中提到的他所想到的證明方法，但至今仍沒有定論。但毋庸置疑，朝著這個最終目標，人們已經取得了巨大的進步，同時，在試圖證明費馬理論的過程中，還誕生了一門被稱為“理想數理論”的全新數學分支。歐拉證明了方程x

當然，這個理論仍然有可能是錯誤的，只要找出一個例子，其中兩個整數的n次冪之和等于第三個整數的n次冪就可以了。但是要找到一個指數n必須是大于269的數字這樣的研究可不簡單。

2．神秘的

現在讓我們來做一點高級算術題。二二得四，三三得九，四四十六，五五二十五，因此，四的算術平方根是二，九的算術平方根是三，十六的算術平方根是四，二十五的算術平方根是五。

但是一個負數的平方根應該是多少呢？像

如果你理性地分析一下，就會毫不猶豫地斷言以上式子沒有任何意義。引用12世紀數學家布哈斯克拉的話說就是：“正數的平方是正數，負數的平方也是正數，因此，一個正數的平方根有兩個，一個正的，一個負的。因此負數沒有平方根，因為負數不是二次冪。”

但是數學家們都很執著，如果一個看起來毫無意義的東西不停地在他們的公式中出現，他們就會竭盡所能賦予其某些含義。負數的平方根就不停地出現在各個地方，不論是過去的數學家所面對的簡單算術問題還是20世紀相對論框架下的時空統一問題都可見其身影。

第一個將明顯毫無意義的負數的平方根寫進公式里記下來的勇士是16世紀的意大利數學家卡爾達諾

在寫上面的式子時，卡爾達諾明知道它們毫無意義，是虛構的，不存在的，但他還是寫下來了。

而既然有人敢把負數的平方根寫下來，即便是虛構的，將10分為乘積為40的兩部分的問題也就有解了。一旦僵局被打破，即使還有所保留并給出正當理由，數學家們還是越來越頻繁地使用負數的平方根，或者叫卡爾達諾后來命名的“虛數”。

在德國數學家歐拉于1770年發表的代數學著作上，我們發現了大量的虛數的應用。但是他又解釋：“所有像

即使得到了這樣的非難和評判，很快，虛數還是像分數和根數一樣成了數學中不可避免的一部分。倘若不用它，那簡直是寸步難行了。

可以說，虛數是普通數或實數的虛構鏡像，而且，就像我們可以由基數1得到所有的實數一樣，我們也可以由基本虛數單位

顯而易見，

虛數自闖入數學領域兩個多世紀以來，一直籠罩著一層神秘的面紗，直到最后兩位業余數學家為其做出了簡單的幾何解釋。這兩個人就是挪威測量師韋塞爾和巴黎會計師阿爾岡。

根據他們的解釋，一個復數，例如3+4i，可以像圖4那樣表示出來，其中，3對應著水平距離，即橫坐標；4對應著垂直距離，即縱坐標。

所有的普通實數都可以用橫軸上對應的點來表示，而純虛數則用縱軸上對應的點來表示。如果我們把代表橫軸上某點的一個實數，例如3，乘以虛數單位i，就可以得到一個位于縱軸上的純虛數3i。因此，“將一個實數乘以i，在幾何學上相當于將其對應點逆時針旋轉90度”。

現在，如果我們把3i再乘以i，則需要再旋轉90度，這樣得到的點又回到了橫軸上，但是位于負數那一邊。因此，3i×i=3i

因此，“i的平方等于-1”這樣的陳述就比“旋轉90度兩次你就會面對相反的方向”好理解多了。

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當然，同樣的規則也適用于實虛混合的復數。將3+4i乘以i我們會得到：

(3+4i)×i=3i+4i

而且，從圖4中你可以一眼看出來，點-4+3i是點3+4i以原點為中心逆時針旋轉90度后的對應點。同理可證，從圖4上也能看出，將一個數乘以-i就相當于將其以原點為中心順時針旋轉90度。

如果你還是覺得虛數籠罩著一層神秘的面紗，那么通過解決一個虛數實際應用的簡單問題，可能會幫助你揭開這層面紗。

有一個年輕的冒險家在他的曾祖父的文件中找到了一張繪有藏寶圖的羊皮紙，上面寫著：

“乘船到北緯___，西經___

這些指示相當清楚明白，所以這個年輕人租了一條船航行到南海。他找到了荒島、草地、橡樹和松樹，但是令他郁悶的是，絞刑架不見了。自藏寶圖繪制以來已經過去很長時間，風吹日曬雨淋已經使得木頭風化，重歸大地，甚至連曾經存在的痕跡都沒有留下。

我們這位年輕的冒險家陷入了絕望當中，在憤怒與瘋狂中，他滿地亂挖起來，然而一切都是徒勞的，這個島太大了！所以他只能空手而歸。而寶藏可能還被埋在那里。

這是一個遺憾的故事，而更令人遺憾的是，如果這個年輕人略懂數學，尤其是虛數的用法，他可能已經找到了寶藏。讓我們看看是否能幫他找到寶藏，盡管對他來說為時已晚。

將島看作一個復數平面，過兩棵樹畫一條坐標軸，然后過兩樹之間的中點作實數軸的垂線作為虛數軸。用兩樹距離的一半作為我們的單位長度，這樣我們就可以說橡樹在實數軸的-1點上，而松樹在+1點上。我們不知道絞刑架在哪里，所以我們用希臘字母Γ表示它的假設位置，這個字母甚至有點像絞刑架。由于絞刑架不一定在兩個坐標軸上，所以我們必須將Γ看作一個復數：Γ=a+bi，圖5解釋了a和b的意義。

現在讓我們來做一些簡單的算術，同時別忘了之前講到的虛數的乘法法則。如果絞刑架在Γ，橡樹在-1，兩者之間的距離可以表示為：-1-Γ=-(1+Γ)。同理，絞刑架和松樹之間的距離可以表示為：1+Γ。為了將這兩個距離分別順時針以及逆時針旋轉90度，根據上述法則，我們必須將它們乘以-i和i，這樣才能找到我們需要做標記的兩個點：

第一個標記點：(-i)+1=i(Γ+1)-1

第二個標記點：(+i)(1-Γ)-1=i(1-Γ)+1

由于寶藏在這兩個標記點中間，我們現在必須計算出上面兩個復數的和的一半，我們就得到了：

現在我們可以看出來，用Γ所表示的絞刑架的未知位置在計算過程中被抵消了，并且，無論絞刑架在哪兒，寶藏一定被埋在點+i那里。

所以，如果我們年輕的冒險家當時若做一點這樣簡單的數學計算，他就不需要挖遍整個荒島，而大可直接去圖5畫×的點上挖掘寶藏，并且一定能在那里找到寶藏。

如果你還是不相信根本不需要知道絞刑架的位置就可以找到寶藏，你可以找一張紙，在上面畫出兩棵樹的位置，假設絞刑架在幾個不同的位置上，然后分別試著根據羊皮紙上的信息一步步往下走。最后你一定會得到同一個點，正是復數平面上+i所在的點！

使用-1的虛構平方根，人們還發現了另外一個隱藏的寶藏，一個不可思議的發現：我們的普通三維空間可以與時間合二為一形成一個符合四維幾何規律的四維圖像。我們將在下一章討論愛因斯坦的思想及他的相對論時再詳述這一發現。

(1)譯者注：Euclid，古希臘著名數學家，活動于公元前300年前后，著有《幾何原本》。

(2)譯者注：Eratosthenes，公元前276—前194，古希臘數學家、天文學家、地理學家。

(3)譯者注：PierredeFermat,1601—1665，法國著名律師和數學家，主要成就為費馬大定理、解析幾何的基本原理。

(4)譯者注：LeonhardEuler,1707—1783。

(5)譯者注：LevSchnirelmann,1905—1938。

(6)簡單來說，將表中的普通對數乘以常數2.3026就可以得到其自然對數。

(7)譯者注：JacquesSolomonHadamard,1865—1963，以素數定理聞名。

(8)譯者注：LouisdeLaVallée-Poussin,1869—1938。

(9)在小學的幾何學課程上，畢達哥拉斯定理是這樣呈現的：3

(10)譯者注：DiophantusofAlexandria，約公元246—330，代數學創始人之一。

(11)運用丟番圖的理論（取a和b兩個數并且2ab為完全平方數。設

3

5

6

7

8

9

9

10

(12)譯者注：Dirichlet，1805—1859，德國數學家。

(13)要算出其他很多數字的平方根也很簡單。例如，

(14)譯者注：GirolamoCardano,1501—1576，意大利百科全書式學者。

(15)

(16)羊皮卷中給出了實際的經度數和緯度數，但是為了防止泄密，文中將其省略了。

(17)由于同樣的原因，這里所提的樹的品種也做了改變。一個位于熱帶的珍寶島上無疑會有很多其他種類的樹。

第二部分

第三章空間的獨特性

1．維度與坐標

我們都知道空間是什么，但一旦被問及“空間”這個詞所指的準確定義時，我們還是會尷尬地發現自己竟很難說出個所以然來。這時候我們的措辭很可能會是：空間就是環繞著、包裹著我們的所在，且通過它，我們可以在其中進行前后、左右乃至上下的移動。這個由三個相互獨立且垂直的方位所組成的存在體，它代表的是我們居住的這個物理空間所具有的最基本的其中的一個屬性；這就是我們會稱我們所在的空間為三向抑或三維空間的原因。空間里的任何一個位置都可由這三個方向明確地定位出來。若我們現在正身處一座陌生的城市，并向酒店前臺詢問如何才能找到某個知名公司的辦事處，這時候工作人員的回答可能是：“向南面步行五個街區，接著右轉經過兩個街區，最后再往上爬七層樓。”剛剛這個例子里所給出的三個數通常被認作是坐標，其中涉及了街區與建筑物樓層以及酒店大堂這個原始出發點之間的聯系。而很明顯的是，通過使用坐標系，同一個地點的方位可由另外的任何一個點指出，這個坐標系將準確地表明新的始發點與終點之間的聯系。而只要我們知道新坐標之于已有坐標的相對位置，那么經由簡單的數學演算，新坐標就可以通過已有坐標表達出來。這個過程就是所謂的坐標變換。這里可能需做出的補充是，所有的這三個坐標都不需要使用代表一定距離的數字來表示，而實際上，在某些特定的情況下，使用角坐標則會更便利一些。

舉例而言，在紐約，街區和道路間相交形成了直角坐標系，那么這就是其最為自然而合理的地址表達方式；而莫斯科的地址體系則必然要通過變換為極坐標才能獲得。長久以來，這座古老的城市就是圍繞著中央要塞—克里姆林宮發展起來的，故以克里姆林宮為中心，街道向四周呈放射狀發展，而與之縱橫交錯的是幾條同心的環形林蔭道，所以要是有人描述有一棟房子是位于克里姆林宮宮墻西北偏北方向二十個街區的位置上，這樣的說法倒也合乎情理。

另一個關于直角坐標系和極坐標系的經典例子是美國海軍部大樓以及華盛頓特區陸軍部大樓，因其與“二戰”期間的戰爭部署工作緊密相關，故每個人都很熟悉。

在圖6所給出的樣例中，經由三個或表示距離或表示角度的坐標，我們展示了如何通過不同的方式來描述一個點在空間中的位置。但不論我們所選用的是何種體系，都需要三個數據來進行定位，因為我們試圖解決的是三維空間內的問題。

雖然對我們來說，使用根深蒂固的三維空間概念去想象超空間，即所擁有的維度多于三維的多維空間是一件很不容易的事情，但其實我們很容易就能在腦海中構架出一個少于三維的子空間。一個平面、一個球體的表面，或者其他任何物體的表面，其實都是一個二維空間，因為表面上的一個點，其位置總能由唯一的兩個數字表示出來。同樣，一條線是一個一維度的子空間，且只需一個數字用于標示其所在位置。我們也可以說一個點就是一個零維度的子空間，原因是在一個點內不存在兩個不同的位置。但誰又會對點產生興趣呢！

作為三維生物，我們會發現要理解線段跟平面的幾何屬性會更簡單一些，因為我們可以“由內而外”看見其全貌，而對于我們更為熟悉的三維空間屬性，正因我們身處其中

然而，只要通過一點練習來了解“彎曲率”這個詞的真正含義，你就會發現一個彎曲的三維空間這樣的概念的確非常簡單，而在下一章的末尾部分，你將會甚至是很放松地對一個乍一看似乎很可怕的概念—彎曲的四維空間暢所欲言。

但在我們進行更進一步的討論之前，讓我們先來嘗試接觸一些有關普通三維空間、二維平面及一維線條的智力訓練吧。

2．不用測算的幾何學

盡管你記憶中對幾何學的了解可能還停留在學生時代，即你對幾何學的第一認知可能是：這是一門對空間進行測量

如果需要給出一個簡單的拓撲問題方面的例子，我們得先設想有一個封閉的幾何面，就拿一個球體的表面來說，這個球體被網狀的線分割為諸多不同的區域。

通過在此球體表面定位任意數量的點，并用互不相交的線將這些點都連接起來，這樣我們就可以備好一個符合要求的幾何體。那么在原始點的數量、代表相鄰地域間界線的數量以及區域的數量之間又存在著怎樣的關系呢？

首先，我們必須非常明確的就是，若選用的不是常規的球體而是扁平的球體，比如南瓜，或是像黃瓜一樣細長的幾何體，那么這類球體上點的數量、線的數量以及面的數量和常規球體上的數量皆是一致的。

事實上，通過拉伸、擠壓或是做任何我們想要的變形，就可隨意塑造出各種閉合的表面。當然，在此過程中，唯獨不能進行切割或是撕裂操作，只有這樣才能保證這個幾何體的構造或我們的問題的答案不發生一絲一毫的偏差。這與幾何學上普通的數值關系顯然是相反的，形成了鮮明對比。的確，如果我們把一個立方體拉伸成一個平行六邊形，或是把一個球捏成薄餅，這個關系就會發生實質上的扭曲。

用這個已劃分好區域的球體，我們現在能做的就是將其每個區域都展平開來，讓這個球體最終變為一個多面體。這樣一來，原先連接各個不同區域的線就變作了這個多面體的棱，而最初任意選取的那些點也變為了多面體的頂點。

那么我們之前的問題需要重新表述為：在一個任意類型的多面體中，其頂點數、棱數以及面數之間存在何種關系？

在圖8中，可以看見五個常規的多面體，換言之，所有這些面都擁有同等數量的棱、頂跟面，此外還附上一個僅憑想象畫出來的非常規簡化多面體。

在這些幾何體中，每一個我們都可以數清頂點的數量、邊的數量以及面的數量。那么如果這些數值之間存在一定的關系的話，這關系會是什么？

通過直觀地數算可列出以下相應的表格。

乍一看，上表前三欄所給出的數值之間似乎并不存在任何相關性，但仔細研究一番之后，你就會發現V欄跟F欄的數值總和總是比E欄的數值要大2。由此我們可得出如下數學關系：

V+F=E+2

那么這樣的關系是否只存在于圖8所列出的這五個多面體之中，抑或也同樣適用于其他任何的多面體？如果你嘗試著再畫幾個其他形狀的多面體，并統計一下它們的頂點數、棱數和面數，你將發現以上所得出的這種數學關系存在于每個多面體中。很顯然，V+F=E+2就是一個拓撲性質的一般性數學定理，原因是其關系的表達不依賴于其棱邊長度或是各個面面積的測量，而只需考慮到其中不同的幾何單元的數目即可。

這樣的關系只存在于一個多面體的頂點數、棱數以及面數之間，最先注意到這一關系的是17世紀法國的著名數學家勒內·笛卡兒

現在我們一起來看一看歐拉定理。下面是從R.柯朗

為了證明歐拉公式，我們得先設想所給定的簡單多面體是空心的，且其各個面均由薄橡膠制成。那么如果切除這個空心多面體的其中一個面，我們就可以將其余的面進行形狀變換，拉伸至所有面都平鋪在同一平面上。當然，在此過程中，多面體的各個面與角度之間的區域也會隨著改變。但平面中的這個由頂點和棱所組成的網囊括的頂點數與棱數卻是不會變的，只是多面體數會比之前少一個，這是因為在變形的過程中有一個面被移除了。這樣一來，我們應該就能看出，對于平面網來說，V-E+F=1

首先我們需要按如下方式將網狀平面“進行三角形化”，也就是在此網狀平面中，為形狀不是三角形的多邊形添加對角線。結果就是：E和F兩者都增加了1，這樣一來就保證了V-E+F的值恒定不變。現在我們繼續添加對角線，將成對的點都連起來，直到此多邊形完全變為內含三角形的圖形為止，這才是我們最終要的效果。在進行三角形化的網狀圖中，V-E+F的值跟還未進行三角劃分前的值一樣，原因是進行對角線劃分并不會改變這個數值。

有些三角形的邊分布在網的邊線上，與之重合。當然，還有些像三角形ABC這樣的，只有一邊位于邊線上，以邊線為三角形的其中一邊，而另外一些三角形則可能有兩條邊與網的邊線重合。我們取任意一個邊線三角形，并去掉其中不屬于其他三角形的部分。這樣在三角形ABC中，我們就移除了AC這條邊以及這個面，而留下了頂點A、B、C以及AB和BC兩條邊；從三角形DEF中，我們需要移除三角形DEF這個面，以及DF、FE兩條邊和頂點F。

在對ABC這類三角形的移除過程中，E跟F都減少了1，而V則不受影響，由此得出V-E+F的值不變。在DEF這類三角形的移除過程中，V減少了1，E減少了2，F減少了1，由此得出V-E+F的值再次保持不變。以適當的方式進行此類操作，我們可漸次移除邊線三角，一直到最后只剩下一個三角形為止，亦即最終只剩下三條邊、三個頂點和一個面。對于這個簡單的網來說，V-E+F=3-3+1=1。但我們已經知道，V-E+F不會隨著三角形的減少而發生改變。因而在最初的平面網中，V-E+F也必須是等于1的，且這樣一來，對于少了一個面的多面體來說，這樣的相等關系也還是存在的。我們于是得出如下結論：V-E+F=2適用于完整無缺的多面體。這樣就完全支撐了歐拉公式。

歐拉公式中存在一項有趣的求證，即只可能存在五個常規多面體，也就是圖8所示的各個多面體。

仔細回顧前幾頁所述的內容，你可能會注意到在畫圖8所示的各種多面體以及尋找證據以支撐歐拉定理的過程中，我們先做了一個隱含假設，結果導致我們的選擇受到了很大的限制。也就是說，一直以來，我們習慣于將自己局限于多面體，不會有任何的洞透過其間。我們這里所說的洞，并不是那種橡膠氣球上撕去一塊而產生的洞，而是指甜甜圈或閉合的橡膠輪胎中間的空洞。

讓我們來看一下圖10，圖10將會為您澄清這個情況。在圖中我們可以看見兩個不同的幾何體，其中任何一個都與圖8中所展示的幾何體一樣，都是多面體。

現在讓我們來看看歐拉定理是否適用于這兩個新的多面體。

在所給出的第一個案例中，一共有16個頂點、32條棱以及16個面。這樣的話，V+F=32，而E+2=34。在第二個案例中，通過計算我們得知這個多面體共有28個頂點、60條棱和30個面，那么相應地，V+F=58，而E+2=62。這又不對了！

那么為什么會這樣呢？在上面所給出的例子中，為什么我們按歐拉定理給出的一般依據會不適用呢？問題到底出在哪里？

當然，問題就在于我們一直以來所研究的多面體可以看成一個球膽或氣球，而這種新型的中空式多面體卻更像是一個輪胎內胎或是橡膠制品中構造更為復雜的某種成品。

對于后面提到的這類多面體，以上所給出的數學證明就不適用了，原因是，對這種類型的幾何體我們無法進行證明所需的所有步驟。所以，在實際生活中，遇到此類情況我們會被要求：“切除中空多面體的其中一個面，還要將余下的面都拉伸變形直至平攤到同一個平面上。”

如果你用剪刀剪去足球表面的一部分，你同樣可以滿足這個證明步驟。但如果你選用的是一個輪胎內胎的話，那么不管你多努力地做出嘗試，你都不可能滿足上述證明步驟。要是觀察圖10還不能讓你完全信服這一點的話，你倒是可以換一個舊輪胎親自試試！

但是，一定不要想當然地認為對于較復雜的多面體來說，V、E和F之間就不存在任何關系了，關系肯定是存在的，只是有別于之前的關系罷了。而對于甜甜圈狀的，抑或更科學嚴謹一點說，對于環形曲面狀的多面體而言，計算公式V+F=E派得上用場。而對于椒鹽卷餅狀的多面體，我們又需要V+F=E-2這樣的公式。一般而言，在V+F=E+2-2N中，N表示的是透洞的數量。

另一類與歐拉定理密切相關的典型拓撲式問題是所謂的“四色問題”。

假設我們現在有一個表面被細分為數個區域的球，且需要給這些區域都標注上特定的顏色，還要求任意兩個相鄰的區域的顏色不盡相同。那么，面對這樣一項任務，我們將使用到的色調中，用量最少的會是什么顏色？很顯然，當三條邊界都歸于一點時，一般而言，兩種顏色是不夠用的，要為三個區域上色，必須用到三種不同的顏色。

而要找一個同時含有四種顏色的地圖也不難

不管你怎么嘗試，你都絕不可能靠想象構建一張需要四種以上色調上色的地圖，不論這地圖是放在地球儀上來看還是放平在紙張

如果最后的這個陳述是真的，那它一定能經由數學證明有效。但不論經過了多少代數學家的努力，最終的證明都沒能給出。這屬于那種實際生活中無人懷疑，但數學上卻無人能證明的典型數學案例。現在，我們最多能成功地經由數學證明有五種顏色就足以應付所有會出現的情況。這個證明是基于對歐拉定理的實際應用做出的，證明的過程中考慮到了國家的數量、相應國家邊界的數量，以及幾個國家聚在一起時三倍、四倍等數量的交點。

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