ETH:白話解析 RSA 加密算法的數學原理_Tethereum

從自然數開始，一直講明白了RSA非對稱式加密的細節。

前不久Jason同學邀請復旦大學數學系的梅同學給希望了解Web3的朋友們上了5節硬核的數學課。從自然數開始，一直講明白了RSA非對稱式加密的細節。我再回顧一下，嘗試解釋這個其實還挺復雜的事兒。

大數無法分解

3*7算出21容易嗎？容易。反過來，21是哪兩個數的乘積？也不難，但肯定比算3*7麻煩。

同理967*379=366493容易。反過來，366493是哪兩個數乘積？難多了。

隨著乘積的不斷變大，算乘法的難度略微增大，算是這個數是由哪兩個數相乘的難度陡峭的增加。

一個一百位數字的數和一百位數字的數相乘，手工算不容易，但對計算機來說不難，結果是一個大約兩百位數字的數字。

反過來，把這個200位的數字分解？基本上現在能想到的辦法就是近似于一個一個的試。別說算乘法了，光從一數到80位的數字，按照現在的計算水平，就要消耗掉一個中等恒星一生的能量了。所以，簡單結論是，超級大的數字做分解不可能。

就利用這個簡單的原理，加上聽起來故弄玄虛的歐拉定理，就是一個精妙絕倫的RSA加密算法。

數據：比特幣市值占比為37.6%:金色財經報道，據CoinGecko數據顯示，當前加密貨幣市值為9673.2億美元，24小時交易量為920.52億美元，當前比特幣市值占比為37.6%，以太坊市值占比為16.5%。[2022/9/28 5:55:38]

n進制取個位

這個東西的數學名稱叫「取模」，就是算「一個數除以n以后的余數是幾」。

不過我們不用這個名字。我自己發明的一個混雜了數學和計算機的概念，叫做?n進制取個位。比如n=8，八進制下只取個位，超過的十、百、千位數就直接扔掉，那么15這個數本來八進制就是17，只取個位，就是?7。所以，我們規定，15在八進制個位模式下，就等于7。同樣，23，31等，在8進制取個位下，都等于7。這個「等于」，不是絕對數字的相等，而是經過了?n進制取個位，我們用?≡?表示這種特殊的等于。

這樣，如果n是4萬公里的話，數字的世界變成像地球一樣，是一個循環。在赤道上可以向東走?1萬公里，和向西走?3萬公里結果是一樣的，甚至向西走?7萬，11萬，15萬公里的終點是一樣的，就是一圈一圈的轉就是了。所以4萬進制取個位，1萬?≡?-7萬?≡-11萬?≡-15萬。注意，畢竟走7萬公里和走11萬公里不相等(=?)，但是在地球赤道上走，他們的效果相等?(?≡?)。

FTX將持續開放ETH交易:9月5日消息，ETH合并期間FTX將持續開放ETH交易。FTX將在下列時間暫停以下Wrappers和Layer 2的充值與提現：

- Arbitrum One ETH: 2022年09月07日 00:00 (UTC)

- Solana (Wormhole) ETH: 2022年09月15日 00:00 (UTC)

- Binance Smart Chain（BSC）ETH：2022年09月15日 00:00 (UTC)[2022/9/5 13:10:02]

例子：比如在?20?進制取個位下，3*7?的結果就是?1?。

連著乘兩個數就是它本身

這有啥用呢？神奇的事情在于，在?20進制取個位下，任何數乘以3再乘以7，就相當于乘以?1，就是這個數本身！

比如?12*3?=36；36%20=?16;?16*7?=112;112%20=?12

變回原來了。神奇嗎？

在?20進制取個位下，你把一個數乘以3，我不用除以3，而是繼續乘以7，就是原來那個數。不僅僅是7，我把乘3的數字乘以67，127，或者187。。。。它都會回到原來那個數，只是轉的圈數多了些。

歐洲央行：已明確數字歐元的一些關鍵原則，包括隱私保護等:7月13日消息，歐洲央行行長Christine Lagarde和執行委員會成員Fabio Panetta聯合撰文《數字歐元的主要目標》表示，預計在2023年秋季完成數字歐元項目的調查階段，現在決定設計的細節還為時過早，但一些關鍵原則已經明確。首先，數字歐元必須響應其用戶的需求。其次，數字歐元還應該使迄今為止無法使用數字支付的人受益，從而支持金融包容性。第三，隱私保護必須達到最高標準。還有一些陷阱需要注意。數字歐元旨在作為一種支付手段，而不是一種投資形式。[2022/7/14 2:11:29]

這就使得，如果兩個數在一個?n進制取個位下乘積為1，這兩個數不就是一個很好的加密和解密的工具嗎？

比如數字大一點，在366492進制取個位下，任何數乘以?967得到的數再乘以379，就是它本身。

公鑰和密鑰

如果我把?e=967?當做公鑰，d=379?當做密鑰，我只需要告訴別人這兩個數字，別人乘積以后交給我，我再乘以d，然后。。。。

不過有一個小問題，如果給出了這兩個數，別人除以e不就得到了我的秘鑰d嗎？畢竟，你可以算乘法，別人就可以算除法，而且難度差不多。我們把這個辦法成為露餡兒加密法。

智度股份：公司將結合自身區塊鏈技術優勢在應用內探索元宇宙經濟系統:金色財經報道，智度股份(000676)董秘在回答投資者問時表示，社交游戲“美麗新世界”—基于VR環境的沉浸式社交游戲項目目前進展順利，同時還將結合公司自身區塊鏈技術優勢在應用內探索元宇宙經濟系統和開放式UGC功能建設，發揮個體創造力，滿足玩家參與感，營造超越空間和時間限制的元域“美麗新世界”。此外，公司與王者榮耀、和平精英、英雄聯盟LOL手游在游戲聯運方面有業務合作。公司將根據元宇宙業務發展情況，探討更多元宇宙游戲場景的落地。[2022/6/13 4:21:19]

接下來要做的事情，就是想辦法把這自己的密鑰藏起來，讓別人拿到n進制數，還有公鑰e，沒有辦法算出我的密鑰，但是依然可以用e加密，我可以用私鑰d解密不就好了？

歐拉定理

我們引入?φ(n)。它的定義可厲害了，是「小于?n?的正整數中和?n?互質的數的個數」。這個定義忽略就好，只要知道，如果n是兩個素數p,q的乘積的話，?φ(n)=(p-1)(q-1)。

歐拉發現了一個驚天大秘密，居然在?n進制取個位下，如果m和n互為質數，m的φ(n)次方居然等于1：

m^?φ(n)?≡?1

科技部部長：區塊鏈等新興技術加快應用，培育了智能終端等新產品:6月6日消息，科技部部長王志剛今天在中宣部“中國這十年”系列主題新聞發布會上表示，科技創新為高質量發展提供源頭供給。人工智能、大數據、區塊鏈、量子通信等新興技術加快應用，培育了智能終端、遠程醫療、在線教育等新產品、新業態。我國數字經濟規模居世界第二，技術突破打通了我國新興產業的一些堵點，太陽能光伏、風電、新型顯示、半導體照明、先進儲能等產業規模也居世界前列。（央視）[2022/6/6 4:04:53]

兩邊都取k次方：

m^?(k*?φ(n))?≡?1

兩邊都乘以m：

m^?(k*?φ(n)+1)?≡?m

k*?φ(n)+1?是啥意思？就是這是一個「除以??φ(n)余數為1」的數字。也就是說，只要找到e*d這兩個數，使得他們的乘積除以?φ(n)?余數為1就好。這個好找，有一個叫做輾轉相除法的方法，不過這里先略過。我們一般常常把e固定的設為65537，然后就可以找到一個滿足的d。

最后，也就是最驚艷的一步，如果我們能夠找到這樣的e,d，我們把?e?和?n?告訴整個世界，讓他們在?n進制取個位下，把要加密的數字?m?取?e?次方發給我，我對這個數再進行d次方，我就能得到m。

(m?^e)^?d?≡?m

重新梳理

到現在大家應該已經無一例外的暈厥了。這很正常。我們再理一下就清楚了。

就是說，如果我能無論用什么方法，找到一個進制n，在這個?n進制取個位下，能夠找到兩個數字e和d，e公開給整個世界，d留給自己，同時還能讓任何數字m的e次方的d次方還等于原來這個m，加密解密算法不就成立了嗎？就跟最早我說的那個乘以一個數，再乘以另一個數，總等于原來的數字一樣？

但露餡兒加密法兩個乘法的算法的明顯的漏洞在于，e和n給出了，d也就給出了。

在這個新的算法中，e給出了。n給出了，但e*d??≡?1的進制，不是簡單地?n，而是和n同源，但是不同的?φ(n)?。正因為進制改了，所以也不能用露餡兒加密法里面的兩次乘法，而借用歐拉的驚天發現，做了兩次冪運算。

從?n?能不能算出來??φ(n)?呢？如果有能力分解n當然?φ(n)?唾手可得，把兩個因子各自減一再乘起來就好。

但是從n能不能輕易地找到p和q呢？根據最早的大數不可分解，要想找到100個太陽燒掉都不夠用，p和q好像是腳手架，算出來n，算出來?φ(n)就扔掉了。?那么??φ(n)?就是一個秘密。如果?φ(n)?是個秘密，有了e也找不到d。

所以，整個算法是無比精巧的安全。

舉例子

我們找兩個腳手架數字：p=2,q=7，算出n=2*7=?14,??φ(n)?=?(2-1)*(7-1)=?6?。那兩個腳手架數字p,q在算出n和?φ(n)后就退休了。找在?6進制取個位下，e*d?≡?1好辦，e=5,d=11就行。

這樣，公布給全世界的數字就是(e=5,n=14)，保留給自己的就是d=11。φ(n)千萬也不能告訴任何人。φ(n)?就如同總統，n如同他的影子。世界只能看到他的影子，看不到總統本人。好在影子在世間行走不怕暗殺，總統躲在防空洞里是安全的。

我們來試一下，在?14?進制個位模式下，如果要傳遞的數字?m=?2，別人把m^e算出來，就是2^?5=?32?=2*?14?+4?≡?4

現在，4就可以大大咧咧的在互聯網上隨便傳輸了。只有我知道有一個秘密是11。我拿到以后，算4的11次方，4^11?≡?4,194,304%14?≡?2?，不就是別人要給我的那個數字嗎？前提是，我們認為別人從n=14無法分解成2*7，否則就全露餡了。

14肉眼可以看出等于2*7。

這個數n：

8244510028552846134424811607219563842568185165403993284663167926323062664016599954791570992777758342053528270976182274842613932440401371500161580348160559?

是p

91119631364788082429447973540947485602743197897334544190979096251936625222447

乘以q

90480063462359689383464046547151387793654963394705182576062449707683914045697

計算機眼也看不出來。?p和q如同兩位門神，死死的守住了獲取它們后面的秘密的入口。但是從p，q算出?φ(n)?，以及e，d，卻都是舉手之勞。

如果知道n的組成是p，q，我們按照上面的算法可以選出來e和d：

65537

2545549238258797954286678713888152865623498585866759298032549597771444725977268190722532488574321463855938811396613702406984581214587037347197409962813953

也就是說，這個游戲，任何人要把一個數字m傳給我，只需要在n進制取個位下，對它進行65537次冪，我再把它進行d次冪，我就拿回了原來的數字。

這個精巧的算法，就是RSA加密算法。

希望有人能夠看明白。我真的是盡力了。

原文標題：《用吃奶的勁試著解釋加密算法的數學原理》

撰文：王建碩

來源：ForesightNews

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