VIT:Vitalik：以太坊狀態爆炸問題，多項式承諾方案可解決_ERG

寫在前面：為了應對以太坊的狀態爆炸問題，以太坊聯合創始人Vitalik提出了新的解決方案，其提議使用多項式承諾方案來替代默克爾樹，以此大大減少無狀態以太坊客戶端的見證數據。

以下為譯文：

關于這一研究，這里要感謝很多人提供的幫助，尤其是AZTEC團隊向我介紹了復制約束參數、排序參數以及有效的批范圍證明方法；DateryKhovratovich和JustinDrake在Kate承諾部分提供的方案，ElibenSasson關于FRI提供的反饋，以及JustinDrake進行的審查工作。這篇文章只是第一次嘗試，如果有進一步的重要思考，我確實希望該方案能夠被類似但更好的計劃所取代。

太煩不看版總結：

我們建議用稱為“多項式承諾”的神奇數學來替代默克爾樹來累積區塊鏈狀態。好處包括：將無狀態客戶端的見證內容的大小減少到接近于零。這篇文章提出了利用多項式承諾進行狀態累積所存在的挑戰，并提出了具體的構建方法。

什么是多項式承諾？

多項式承諾是多項式P的一種‘哈希’，其具有可對哈希執行算術檢查的屬性。

例如，在三個多項式P，Q，R上，給定三個多項式承諾h_P=commit(P(x)),h_Q=commit(Q(x)),h_R=commit(R(x))，然后：

如果P(x)+Q(x)=R(x)，你可以生成一個證明，證明它和h_P,h_Q,h_R的關系；

如果P(x)*Q(x)=R(x)，你可以生成一個證明，證明它和h_P,h_Q,h_R的關系；

如果P(z)=a，你可以針對h_P生產一個證明

你可以將多項式承諾用作vector承諾，類似于默克爾樹。多項式承諾的一個主要優點是，由于其數學結構的原因，其生成復雜證明要容易得多。

有哪些流行的多項式承諾方案？

當前有兩個領跑者，它們分別是Kate承諾以及基于FRI的承諾。你可能還聽說過防彈證明和DARKs算法，這些是替代型多項式承諾方案。而要了解有關多項式承諾的更多信息，YouTube上有相關的內容。

Vitalik Buterin（V神）突然現身基輔科技峰會:金色財經報道，以太坊聯合創始人Vitalik Buterin（V神）突然現身基輔科技峰會，Buterin 在基輔現身特別值得注意，因為目前距離以太坊備受期待的合并只有幾天的時間。作為峰會閉幕發言人之一，Buterin表示區塊鏈、以太坊、加密世界中的很多人在關心和支持烏克蘭，其他峰會發言人包括Binance烏克蘭總經理 Kiril Khomiakov、NEAR Protocol 聯合創始人Illia Polosukhin和烏克蘭創業基金董事 Pavlo Kartashov。（coindesk）[2022/9/11 13:22:08]

多項式承諾在以太坊中有哪些容易應用的場景？

我們可以用多項式承諾來替換目前區塊數據的默克爾根，并用開放證明替換默克爾分支。這給我們帶來了兩個很大的優勢。首先，數據可用性檢查會變得容易，并且不會存在欺詐，因為你可以簡單地以隨機方式請求開放。非交互式的托管證明也可能變得更容易。

其次，說服多數據片段的輕客戶端也變得更加容易，因為你可以制造一個同時涵蓋多個索引的有效證明。對于任何集{(x_1,y_1),...,(x_k,y_k。，定義三個多項式：

通過所有這些點的插值多項式I(x)；

在x_1，...，x_k等于0的零多項式Z=*...*；

商多項式Q=-I）/Z；

商多項式

Q的存在，意味著

P(x)-I(x)是

Z的倍數，因此

P-I為零，其中

Z(x)為零。這意味著對于所有

i，我們都有

P(x_i)-y_i=0，即

P(x_i)=y_i。驗證者可以生成插值多項式和零多項式。證明由對商的承諾，加上隨機點

z上的開放證明組成，因此，我們可以對任意多個點擁有一個常數大小的見證內容。

這種技術可以為區塊數據的多次訪問提供一些好處。然而，其對于一種不同的用例而言，存在的優勢就要大得多：證明區塊交易賬戶witness。平均而言，每個區塊會訪問數百個賬戶和存儲密鑰，這導致潛在的無狀態客戶端的見證內容大小會有0.5MB大小。而多項式承諾多見證，根據方案的不同，可以將區塊witness的大小從數萬字節減少到幾百字節。

Ergo與Gravity網絡整合 允許用戶將ERG發送到ETH地址:據官方消息，經過數月努力，Ergo團隊已完成跨鏈測試，Gravity-Ergo-Proxy合約即將完成。Ergo與Gravity合作將有助于Ergo通過Gravity網絡訪問不同的區塊鏈，例如，幣安智能鏈（BSC）、以太坊、小蟻（NEO）和Solana。屆時，用戶可通過Gravity上的SUSY等應用將Ergo平臺上的SigmaUSD、ERG或其他代幣發送到ETH地址。

Ergo創始人Alexander Chepurnoy（Kushti）表示，與Gravity整合不僅是一項有趣的技術挑戰，而且屆時將允許與Gravity整合的其他區塊鏈網絡上大量數字資產進入Ergo公鏈，從而為在Ergo平臺上開發DeFi項目奠定穩定基礎。[2021/5/18 22:15:21]

那我們可以使用多項式承諾來存儲狀態嗎？

大體上，我們是可以的。相比將狀態存儲為默克爾樹，我們選擇將狀態存儲為兩個多項式S_k(x)和S_v(x)，其中S_k，...，S_k表示鍵，而S_v，..。，S_v表示這些鍵上的值。

為了證明鍵值對，...，是狀態的一部分，我們將提供索引i_1,...,i_k并顯示與索引匹配的鍵和值，即k_1=S_k(i_1),...,k_k=S_k(i_k)和v_1=S_v(i_1),...,v_k=S_v(i_k)。

為了證明某些鍵的非成員性，可以嘗試構造一個奇特的證明，證明鍵不在S_k，…，S_k中。相反，我們只需對鍵進行排序，以便證明非成員身份就足以證明兩個相鄰key的成員身份，一個小于目標key，一個則大于目標key。

而這和JustinDrake提出的使用SNARKs/STARKs來壓縮witness以及相關的想法有著相似的好處，另外一個好處是，由于證明是累加器密碼學原生的，而不是構建在累加器密碼學上的證明，因此這消除了一個數量級的開銷，并移除了對零知識證明友好哈希函數的需求。

但這里存在著兩個大問題：

為k個密鑰生成witness需要的時間是O，其中N是狀態的大小。而預計N對應的狀態數據會有大約50GB，因此在單個區塊中生成這樣的證明是不實際的；

Vitalik Buterin通過Archer Swap拋售超4000萬美元meme代幣:5月14日消息，昨日以太坊創始人VitalikButerin大量拋售meme代幣中，超4000萬美元通過ArcherSwap拋售。起初，V神通過Uniswap將meme代幣換成ETH，然而由于搶跑導致交易失敗耗費很多ETH，后V神轉用ArcherSwap進行交易。

注：ArcherSwap可倚靠Uniswap和Sushiswap流動性，而不公開向mempool廣播交易，由匿名團隊開發的以太坊礦工可提取價值（MEV）套利產品Archer于三周前推出。[2021/5/14 22:02:16]

2、用k個新值更新S_k(x)和S_v(x)花費的時間也需要O。這在單個區塊中是不切實際的，特別是考慮到諸如witness更新和重新排序之類的復雜性。

下面我們將介紹應對這兩大問題的解決方案。

高效讀取

我們提供了兩種解決方案，一種針對Kate承諾而設計，另一種則是針對基于FRI的承諾。不幸的是，這些方案具有不同的優點和缺點，從而會導致不同的屬性。

1、Kate承諾

首先，請注意，對于N次多項式f，有一種方案可生成N個對應于

O(N*log(N))時間中每個

q_i(x)=(f(x)-f(i))/(X-i)的開放證明。

還請注意，我們可以按以下方式合并witness。考慮這樣一個事實，q_i(x)只是一個離開f/的子常數項，通常，已知f/((X-x_1)*...*(X-x_k))是f/，...，f/使用部分分式分解的某種線性組合。只需知道x坐標就可以確定具體的線性組合：只需提出一個線性組合c_1*(x-x_2)*...*(x-x_k)+c_2*(x-x_1)*(x-x_3)*...*(x-x_k)+...+c_k*(x-x_1)*...*(x-x_{k-1})，其中不存在非常數項，這是k個未知數中的k方程組。

給定這樣的線性組合，我們得到的東西僅是離開f/((x-x_1)*...*(x-x_k))的一個子常數項，因此它必然是商f(x)//((x-x_1)*...*(x-x_k))，其等于期望值(f(x)-I(x_1...x_k,y_1...y_k))/((x-x_1)*...*(x-x_k))。

聲音 | Vitalik Buterin：可伸縮性、隱私性和可用性是以太坊的三大發展重點:據Invest In Blockchain消息，以太坊聯合創始人Vitalik Buterin在與Abra首席執行官Bill Barhydt交流時分享了以太坊的三大發展重點：可伸縮性、隱私性以及可用性。其表示，以太坊網絡需要每秒處理100,000筆交易才能成為未來可行的平臺。此外，Vitalik Buterin還表達自己對比特幣作為一種價值儲存手段將如何發揮作用的看法，其認為如果比特幣的意圖是充當一種貨幣，那么轉向“權益證明”（Proof-of-Stake）會更好。[2019/3/21]

一個可能的挑戰是，對于大的狀態，一個實際可計算的單一可信設置是不夠大的：例如，PLONK設置只能容納約3.2GB。相反，我們可以有一個由多個Kate承諾組成的狀態。

我們對很多承諾作如下單一witness。為證明，首先讓。witness是；如果Q是一個多項式，則F實際上在那些位置為零，因此fi在其位置具有期望值。

2、基于FRI的承諾

我們將狀態存儲在一個二維多項式

F的求值中（每個變量的階數為

sqrt），并致力于對

4*sqrt(N)by4*sqrt(N)square求值

F。

我們將所有我們關心的值存儲在位置(x,x**sqrt(N))，因此它們都具有唯一的x坐標。

為了證明在一組點x_1,...,x_k上的求值，我們構造了一個k次多項式路徑，其在x_i處的求值為x_i**sqrt。

然后，我們創建一個多項式

h(t)=F(t,path(t))，其中包含對

(x_i,y_i)的所有期望求值，并且具有

k*）次。

我們在求值域中選擇隨機的30列c_1...c_k，對于每列查詢30個隨機行。我們承諾于h，為z_i=h(c_i)提供一個多開口，并對列商(R_i-z_i)/(X-path(c_i))進行FRI隨機線性組合，以驗證h的聲明值是正確的，因此h(t)實際上等于F(t,path(t))。

動態 | Gravity將為難民推出自我主權數字身份平臺:據btcmanager消息，內羅畢區塊鏈初創企業Gravity為非洲難民推出證明自我主權數字身份的平臺，從而幫助難民獲得金融服務。據報道，該公司已經開始在肯尼亞卡庫馬的一個難民營部署其平臺，約有80,000名用戶。測試將在營地的三所學校舉行，允許Gravity跟蹤每日出勤率和學生的學習成績。該公司還將與非政府組織建立密切關系，以便能夠追蹤可能對難民營難民生活條件產生積極影響的其他數據和指標。[2018/12/2]

使用二維多項式的原因是，這確保了我們不必對所有F進行任何計算；相反，我們只需要對我們選擇的隨機30行F進行計算），加上階為p*(sqrt(N)+1)的h，創建FRI進行的計算大約為p*sqrt(N)。可以將此技術擴展到二維以上的多項式，以將sqrt因子降低到更低的指數。

高效寫入

我們通過一系列的承諾，來解決與更新包含整個狀態的單個承諾相關的挑戰，較大的承諾，其更新頻率也就較低：

區塊本身，具有“讀取見證”(R_k(x),R_v(x))和“寫入見證”，W_v），表示要寫入狀態的值。注意，我們可以設置W_k=R_k，并在運行時計算W_v。

第一個緩存C1=，C1_v）存儲最近一天的更新內容；

第二個緩存C2等于前一天的最后一個C1；

滿狀態S=，S_v）包含時間超過1-2天的值；

我們將使用的方法如下。為了從狀態中讀取一些鍵k，我們將依次讀取

C1,

C2,

S。如果鍵位于某

C1_k處，則對應的值

C1_v存儲該值，如果鍵位于

C2_k，則

C2_v存儲該值，依此類推，如果鍵位于

S_k，則

S_v存儲該值。如果這些檢查都沒有返回鍵，則該值為0。

復制約束參數的簡介

復制約束參數，是我們將使用的witness更新證明的關鍵組成部分；有關復制約束參數如何工作的詳細信息，請參見此處。簡而言之，該想法是選擇一個隨機r，并生成一個“累加”多項式ACC，其中ACC=1且ACC=ACC*）。你可以通過開放讀取ACC(y)/ACC(x)，來讀取x....y-1范圍內的點累加器。你可以使用這些累加器值，將這些求值與其他求值集進行比較，而無需考慮排列。

你還可以通過設置

ACC(x+1)=ACC(x)*(r+P_1(x)+r2*P_2(x))來證明某些隨機

r和

r2的求值元組（即多集

{(P_1(0),P_2(0)),(P_1(1),P_2(1)),...}）的等價性。多項式承諾可有效用于證明有關ACC的主張。

為了證明子集，我們可以做相同的事情，除了我們還要提供一個指標多項式ind，證明該ind(x)在整個范圍內等于0或1，并設置ACC=ACC**）+）），否則不使用累加器值）。

小結：

我們可以證明a和b之間的P求值，是a和b之間Q求值的置換；

我們可以證明a和b之間的P求值，是a和b之間Q求值置換的子集；

我們可以證明P和Q的求值，是R和S置換，其中P->Q和R->S是相同的置換；

在下面的內容中，除非明確說明，否則我們將偷懶地表述為“P是Q的置換”，意思是“P在0和k之間的求值，是Q在0和k之間對適當k求值的置換”。請注意，下面的內容中，我們還會涉及到每個witness的“大小”，以確定我們接受的任何

C_k中的坐標，而超出范圍的

C_k值當然不計算在內。

映射合并參數

為了更新緩存，我們使用了“映射合并參數”。給定兩個映射A=，A_v）和B=，B_v），生成合并映射C=，C_v）以便：

C_k中的鍵被分類；

對于0<=i<size(B)，(B_k(i),B_v(i))在C中；

對于0<=i<size(A)，僅當A_k(i)不在B的求值集之內時，(A_k(i),A_v(i))在C中；

我們用一系列復制約束參數來實現這一點。首先，我們生成兩個輔助多項式

U，

I，它們分別表示

A_k和

B_k的“并集”和“交集”。將

A_k，B_k，C_k，U，I視為集合，我們首先需要展示：

1、A_k?U；

2、B_k?U；

3、I?A_k；

4、I?B_k；

5、A_k+B_k=U+I；

我們預先假設在A_k和B_k中沒有重復，這意味著A_k！=A_j對于范圍內的i！=j與B_k相同。由于I是A_k和B_k的子集，所以我們已經知道I也沒有重復的值。通過使用另一個復制約束參數來證明U和C_k之間的等價關系，證明了U中沒有重復項，并證明C_k是已排序且無重復的。我們用一個簡單的復制約束參數證明A_k+B_k=U+I聲明。

為了證明C_k已排序且沒有重復，我們證明C_k>C_k的范圍為0...size。我們通過生成多項式D_1，...，D_16，并證明C-C=1+D_1+2**16*D_2+2**32*D_3+...來做到這一點。本質上，D_1，...，D_16將差異存儲在基2**16中。然后，我們生成一個多項式E，其滿足所有D_1，...，D_16的復制約束以及f=x，并且滿足E(x+1)-E(x)={0,1}限制。我們還檢查了E=0以及E*16+65536）=65535。

關于E的約束表明，E中的所有值都夾在0和65535之間。對

D_i的復制約束，證明

D_i中的所有值都在0到65535之間，這證明了它是一個正確的16進制表示，從而證明了

C_k-C_k實際上是一個正數。

現在，我們需要證明value。我們添加另一個多項式U_v，并驗證：

在0...size(B)的(U,U_v)等于在0...size(B)的(B_k,B_v)；

在size(B)...size(A)+size(B)的(U,U_v)，是在0...size(A)的一個子集；

目標是在

U中，我們先放置來自

B的所有值，然后再放置來自

A的值，并使用相同的置換參數來確保鍵和值被正確復制。然后我們驗證

是

的一個置換。

使用映射合并參數

我們按照下面的方式使用映射合并參數，假設每天有BLOCKS_PER_DAY個區塊。

如果block.number%BLOCKS_PER_DAY!=0，我們驗證(C1_k,C1_v)=merge((W_k,W_v),(C1_old_k,C1_old_v))；

如果block.number%BLOCKS_PER_DAY==0，我們驗證(C1_k,C1_v)=(W_k,W_v)以及(C2_k,C2_v)=(C1_old_k,C1_old_v)；

請注意，C2具有一整天的時間，在此期間它保持不變。我們為任何人產生

=merge，）的證明提供獎勵；提供此證明后，我們將承諾

更新為新值，并將

重置為空。如果

S在當天沒有更新，則我們將

C1->C2傳輸延遲到更新為止；請注意，該協議確實取決于

S的更新速度是否足夠快。如果這不可能發生，那么我們可以通過添加更多層緩存的層次結構來解決這個問題。

從糟糕的FRI中恢復

對于FRI的情況，注意，有可能會出現有人生成的FRI在某些位置無效，但這不足以阻止驗證。這不會立即造成安全風險，但可能會阻止下一個更新者生成witness。

我們通過以下幾種方法來解決這個問題。首先，注意到某些FRI生成錯誤的人，可提供自己的FRI。如果通過相同的檢查，它將被添加到可構建下一次更新的有效FRI列表中。然后，我們可以使用交互式計算游戲來檢測和懲罰不良FRI的創建者。其次，他們可提供自己的FRI以及STARK來證明其有效，從而立即罰沒了無效FRI的創建者。通過FRI生成STARK是非常昂貴的，尤其是在較大規模時，但這樣做是值得的，因為這可以賺取很大一部分無效提議者的保證金獎勵。

因此，我們有了一種機制來使用多項式承諾，以此作為一個有效讀取和寫入witness來存儲狀態。這使我們能夠大幅度減少見證內容大小，同時也可以帶來一些好處，比如讓我們有能力對數據可用性進行檢查，以及實現關于狀態的托管證明。

今后的工作

提出FRI證明，要求少于900次查詢；

從理論上講，如果你預先計算并存儲拉格朗日基，理論上可以快速更新Kate承諾。這是否可以擴展到快速更新所有witness，以及為鍵值映射而不是一個vector工作？

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