ROO:技術干貨 | 理解零知識證明算法之Bulletproofs：Range Proof I_EPRO幣

前言

Bulletproofs，又一個有意思的零知識證明算法，相信讀者已經很熟悉它了。和zk-snark相比，它不需要可信設置；和zk-stark算法相比，它具有較小的proofsize。根據論文，它有兩個方面的應用：1.用于rangeproof；2.用于一般算術電路的零知識證明。下面，讓我們先看一下Bulletproofs是如何高效的實現第一點。

Rangeproof

1.?預備知識

aL：表示向量{a1,a2……an}

2n：表示向量{20,21…2n-1}

<a,b>：表示向量內積∑ai*bi，結果是一個值

aob：向量對應位相乘，{a1*b1……an*bn}，結果是一個向量

2.?證明

Alice想要證明

v?

=>則，需要證明一個relation得成立，如下所示：

{：V=grhv^v?}

public-x??????????witness-wrelation-R

即，對于公開信息x，Alice有隱私信息w，使得關系R成立。

令aL為金額v的在范圍內的二進制形式，則aL={a1,a2……an}?{0,1}n，且滿足<aL,2n>=v。因此，證明者需要證明以下幾個等式相等：

交通銀行與螞蟻金服合作 完成基于區塊鏈技術的外保內貸業務:金色財經消息，2020年4月24日，交通銀行上海市分行與螞蟻金服合作，成功完成系統內首單基于區塊鏈技術的外保內貸業務，通過交行系統與螞蟻區塊鏈平臺的雙向對接，順利實現融資性備用證的接收、通知、放款和信息回注，替代了傳統的SWIFT電文傳送方式。該筆業務基于區塊鏈的去中心化特點，去除中間機構降低運行成本；通過分布式賬本構造有效保障運行效率；區塊鏈的安全加密算法及鏈式數據結構，保證鏈上數據的不可篡改。目前，螞蟻金服旗下支付寶通過該區塊鏈平臺成功完成外保內貸業務放款。[2020/4/25]

V=grhv????(1)

<aL,2n>=v???(2)

aLoaR=0n??(3)

aR=aL-1n???(4)

等式(1)確保了承諾V和金額v的綁定關系，等式(2)確保了v的范圍，等式(3)(4)確保了a

L元素只屬于{0,1}。等式(2)/(3)/(4)總共包含了2n+1個約束，其中公式(2)1個，公式(3)(4)各n個。接下來，為了效率，我們需要把2n+1個約束轉換成1個約束。

3.?2n+1個約束轉換成1個約束

=>預備：從Zp中任意選擇一個數y，則b=0n是等式<b,yn>=0成立的充分條件；因為當b!=0n，等式成立的概率僅有n/p，p是有限域，遠大于n。因此，如果有<b,yn>=0，那么驗證者愿意相信b!=0n。

動態 | 全國首個互聯網仲裁電子證據平臺上線 運用區塊鏈等技術:據鳳凰網消息，7月18日，寧波仲裁委召開互聯網在線仲裁平臺暨全國首個互聯網仲裁電子證據平臺正式運行發布會，實現了互聯網仲裁案件全流程線上解決。平臺建設方杭州安存網絡科技有限公司相關負責人介紹，平臺借助互聯網技術，無縫對接各個電子數據來源接口(包括通用電子證據和區塊鏈電子證據)，并以哈希值形式提交平臺上鏈存證。當發生糾紛時，通過哈希值校驗，前置性地對電子證據進行審查認定，確認電子證據是否被篡改。[2019/7/30]

利用這個理論，我們把等式(2)/(3)/(4)做以下轉換：

1.驗證者隨機選取一個數y發送給證明者；

2.證明者要證明：

<aL,2n>=v(5)

<aL,aRoyn>=0???????(6)

<aL-1n-aR,yn>=0???(7)

同理，等式(5)確保了v的范圍，等式(6)(7)確保了a

L元素只屬于{0,1}。此時2n+1個約束轉換成3個約束，接下來，還需要做進一步的處理：

1.驗證者隨機選取一個數z發送給證明者：

2.證明者利用z對公式(5)(6)(7)進行線性組合，得到如下公式：

z2*<aL,2n>+z*<aL-1n-aR,yn>+<aL,aRoyn>=z2*v???(8)

深圳市金融科技協會理事：鼓勵建設基于區塊鏈和智能合約技術的綠色資產開發和綠色債券審核交易平臺:深圳綠金委副秘書長、深圳市金融科技協會理事黃曉寧在《證券時報》今日發文稱，深圳在新一輪的科技浪潮前遙遙領先，人工智能與金融科技領域蓬勃發展。可利用區塊鏈、大數據、云計算、人工智能、電子支付等新興技術，開展綠色金融業務創新、提升運行效率、有效防控風險，促進創新型綠色金融基礎設施平臺發展。鼓勵建設基于區塊鏈和智能合約技術的綠色資產開發和綠色債券審核交易平臺。[2018/6/16]

至此，我們已經把2n+1個約束轉換成1個約束。下面我們對公式(8)做進一步的優化，把三個點積優化成1個點積

4.?三個點積優化成1個點積

=>z2*<aL,2n>+z*?<aL-1n-aR,yn>+<aL,aRoyn>=z2*v

=><aL,z2*2n>+<aL,z*yn>-<z*1n,yn>-<z*aR,yn>+<aL,aRoyn>=z2*v

=><aL,aRoyn+z*yn+z2*2n>-<z*1n,yn>+<z*1n,ynoaR>=z2*v

=><aL,aRoyn+z*1noyn+z2*2n>-<z*1n,yn+ynoaR>=z2*v

金色財經現場報道 世界區塊鏈技術投資人Philip York：摩亞幣支持薩摩亞實體經濟:金色財經現場報道，在全球區塊鏈世界巡回高峰會議大灣區站，世界區塊鏈技術投資人Philip York介紹了摩亞幣的架構、功能和意義。摩亞幣旨為商業上籌集更多的資金，找到融資伙伴，節省籌資成本。解決信任問題，幫助更好地進行KYC，用于支持旅游業，通訊業，農業和漁業 ，落地實體經濟。[2018/4/23]

=><aL,(aR+z*1n)oyn+z2*2n>-?<z*1n,yn+ynoaR>=z2*v

=><aL,(aR+z*1n)oyn+z2*2n>-?<z*1n,(aR+z*1n)oyn+z2*2n-z*1n*yn+yn-z2*2n>?=?z2*v

=>?<aL-z*1n,(aR+z*1n)oyn+z2*2n>-<z*1n,-z*1n*yn+yn-z2*2n>=?z2*v

=>?<aL-z*1n,(aR+z*1n)oyn+z2*2n>=z2*v+<z*1n,-z*1n*yn+yn-z2*2n>

=>?<aL-z*1n,(aR+z*1n)oyn+z2*2n>=z2*v+<z*1n,(-z*1n+1n)*yn>-<z*1n,?z2*2n>

印度總理莫迪：要盡快適應“顛覆性”區塊鏈技術:2月19日，印度總理納倫德拉·莫迪在世界信息技術大會上說，“像區塊鏈和物聯網這樣的顛覆性技術，將會對我們的生活和工作方式產生深遠的影響。它們需要工作場所的快速適應。”印度法律和司法部長Ravi Shankar Prasad今天補充說：“數字授權只有在數字包含的情況下才能實現。隨著人工智能、區塊鏈和物聯網等新技術的出現，年輕專業人員的技能培訓至關重要。”[2018/2/20]

=>?<aL-z*1n,(aR+z*1n)oyn+z2*2n>=z2*v+(z–z2)*<1n,yn>-z3*<1n,2n>???(9)

=>?令

L=?aL-z*1n

R=?(aR+z*1n)oyn+z2*2n

δ=?(z–z2)*<1n,yn>-z3*<1n,2n>

5.驗證：

1.證明者把L/R/V發送給驗證者；

2.驗證者事先算好δ

3.驗證者根據L算出來aL，根據<aL,2n>=v算出v

4.驗證者根據L,R,v,δ驗證等式<L,R>=z2*v+δ

因為y，z都是驗證者提供，因此如果驗證者如果能驗證公式(9)成立，則相信等式(5)(6)(7)成立，則相信等式(2)(3)(4)成立，則相信v滿足關系v?。

但是，可以看到上述過程，泄露了v的信息，因此需要一個零知識證明協議。

6.?一個零知識證明協議

由于L,R包含了v的相關信息，因此，我們需要添加兩個盲因子s

L

、s

R來隱藏a

L，a

R。如公式(10)(11)所示：

l(X)=(aL-z*1n)+sL*X)??(10)

r(X)=(aR+z*1n+sR*X)oyn+z2*2n???(11)

此時，定義公式(12)

t(X)=<l(X),r(X)>=t0+t1*X+t2*X2???(12)

可以看出系數t

0是l(x)和r(x)常數項的乘積，即滿足：

t0=<L,R>=z2*v+δ

因此，問題由證明：

<L,R>=z2*v+δ

轉化成了，在任意一點x，驗證者驗證多項式值l(x),r(x),t(x)滿足關系：

<l(x),r(x)>=t(x)

多項式值l(x),r(x),t(x)由證明者提供，為了保證l(x)，r(x)well-formed，即：

l(x)=(aL-z*1n)+sL*x)

r(x)=(aR+z*1n+sR*x)oyn+z2*2n

需要校驗：

P=A*Sx*g(-z)*(h`)z*yn+z^2*2^n

=hαgaLhaR*(hρgsLhsR)x*g(-z)*(h`)z*y^n+z^2*2^n

=hαgaLhaR*?hρxgsL*xhsR*x*g(-z)*(h`)z*y^n+z^2*2^n

=hα+ρx*gaL+sL*x–z*1^n*haR+sR*x*(h`)z*y^n+z^2*2^n

=hα+ρx*gaL+sL*x–z*1^n*(h`)y^no(aR+sR*x)*(h`)z*y^n+z^2*2^n

=hα+ρx*gaL+sL*x–z*1^n*(h`)y^no(aR+sR*x)+z*y^n+z^2*2^n

=hα+ρx*gaL+sL*x–z*1^n*(h`)y^no(aR+sR*x+z*1^n)+z^2*2^n

=?hμgl(h`)r

=>當且僅當l/rwell-formed，等式成立

為了保證t(x)well-fromed，即：

t=t0+t1x+t2x2

需要校驗：

=>gthτx=?Vz^2*gδ*T1x*T2x^2

=>gthτx=?(hrgv)z^2*gδ*(gt1)x*(hτ1)x*(gt2)x^2*(hτ2)x^2

=>gthτx=?hz^2*r+τ1*x+τ2*x^2*gz^2*v+δ+t1*x+t2*x^2

=>gthτx=?hz^2*r+τ1*x+τ2*x^2*gt0+t1*x+t2*x^2

=>t=?t0+t1*x+t2*x2&&τx=?z2*r+τ1*x+τ2*x2

=>當且僅當t和τxwelle-formed，等式成立

具體的協議流程圖如下圖所示：

總結

從上述流程可以看出，一次rangeproof，證明者需要發送總共{

l/r/t/

τ

x

/

μ

/T1/T2/A/S}個元素給驗證者，總共2n+3個Z

p元素，4個G元素。下一篇文章將細講，Bulletproofs如何將交互復雜度降低到對數級O(log(n))

附錄

1.Bulletproofs論文：

chrome-extension://cdonnmffkdaoajfknoeeecmchibpmkmg/assets/pdf/web/viewer.html?file=https%3A%2F%2Feprint.iacr.org%2F2017%2F1066.pdf

Tags：區塊鏈ROOProofPRO玩區塊鏈的都是什么人Shroom.FinanceProof Of MemesEPRO幣

Filecoin